Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 9]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 9]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Étape 5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 6

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Étape 6.5

Additionnez $9$ et $1$ .

$u_{upper} = 10$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Étape 8

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $10$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Étape 9

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10$ est $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Étape 10.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Étape 10.3

Divisez $10$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Étape 11.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Étape 12

Simplifiez $10 \ln (10)$ en déplaçant $10$ dans le logarithme.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Étape 13

Élevez $10$ à la puissance $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Étape 14

Simplifiez $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ en déplaçant $\frac{1}{9}$ dans le logarithme.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Étape 15