Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ , $[2, 4]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[2, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[2, 4]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 5

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Étape 7

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{| 1 |}))$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (\frac{3}{1}))$

Étape 9.3

Divisez $3$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\ln (3))$

Étape 10

Soustrayez $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (3)$

Étape 11

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$A (x) = \ln (3^{\frac{1}{2}})$

Étape 12