Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 + x \geq 0$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Simplifiez

$1 + x = 0^{2}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 1.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 1}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 3]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Étape 5

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Étape 6.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.4

Évaluez l’exposant.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 8.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Étape 8.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Étape 8.2.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Étape 9.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Étape 10

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Étape 11