Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 5]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 6}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 6}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Étape 5

Laissez $u = x - 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Étape 5.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Étape 5.5

Soustrayez $6$ de $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $- 1$ et sur $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 8.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 8.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Étape 8.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Étape 8.2.9

Soustrayez $1$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Étape 9.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Étape 11