Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 2) (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 5)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)$ et $g (x) = x + 5$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7

Différenciez.

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Étape 1.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.7.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (3 x^{2}))$

Étape 1.7.9

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) x^{2})$

Étape 1.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.9

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.10

Appliquez la propriété distributive.

Étape 1.8.11

Associez des termes.

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Étape 1.8.11.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$x^{5} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} + x \cdot x^{3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.8.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} + x^{1} x^{3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} + x^{1 + 3} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 4 + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 \cdot x^{3} + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.5

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x \cdot x^{3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.8.11.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{1} x^{3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{1 + 3} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (x^{4} \cdot 2) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + x (2 \cdot x^{4}) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 (x^{1} x^{4}) + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{1 + 4} + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.9

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{3} (2 x)) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.10

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.10.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x \cdot x^{3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.10.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.8.11.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{1} x^{3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{1 + 3} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (x^{4} \cdot 2) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 5 (2 \cdot x^{4}) + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.12

Multipliez $2$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} + x (x^{3} \cdot - 4) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.13

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} + x (- 4 \cdot x^{3}) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 (x^{1} x^{3}) + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{1 + 3} + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.16

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} + 5 (x^{3} \cdot - 4) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.17

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} + 5 (- 4 \cdot x^{3}) + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.18

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.19

Soustrayez $4 x^{4}$ de $10 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.20

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.11.20.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 (x^{2} x^{2})) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2 + 2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.20.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.21

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 (x^{1} x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{1 + 4} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.23

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.24

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.24.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 (x^{2} x^{2})) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.24.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2 + 2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.24.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{4}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.25

Multipliez $3$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.26

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x \cdot x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.27

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.27.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x)) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.27.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.8.11.27.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x^{1})) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.27.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{2 + 1}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.27.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.28

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 (x^{1} x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{1 + 3} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.30

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.31

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x \cdot x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.32

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.11.32.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x)) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.32.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.11.32.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x^{1})) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.32.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{2 + 1}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.32.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{3}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.33

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.34

Soustrayez $12 x^{4}$ de $15 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.35

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (12 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.36

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.37

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{1 + 2} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.38

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 1.8.11.39

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (12 x^{2})$

Étape 1.8.11.40

Multipliez $12$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.41

Additionnez $- 60 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.42

Additionnez $2 x^{5}$ et $3 x^{5}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.43

Additionnez $6 x^{4}$ et $3 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 20 x^{3} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.44

Soustrayez $48 x^{3}$ de $- 20 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.45

Additionnez $x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.46

Additionnez $- 4 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{3} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.8.11.47

Soustrayez $68 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 64 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $- 64$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 60 (2 x)$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $60$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 192 x^{2} + 120 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 2) (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 5)]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 5)]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 5)]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (x + 5)]$

Étape 4.1.4

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4 x + 4)]$

Étape 4.1.6

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4] + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7

Différenciez.

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Étape 4.1.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4 + 0) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.1.7.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 4) (3 x^{2}))$

Étape 4.1.7.9

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 4 x + 4) + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 4.1.8

Simplifiez

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Étape 4.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x - 4) + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 4.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4 x + 4) x^{2})$

Étape 4.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) x^{2})$

Étape 4.1.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 4 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + (x + 5) (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 4 x) + x^{3} \cdot 4 + x (x^{3} (2 x)) + 5 (x^{3} (2 x)) + (x + 5) (x^{3} \cdot - 4) + (x + 5) (3 x^{2} x^{2}) + (x + 5) (3 (- 4 x) x^{2}) + (x + 5) (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.1.8.8

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.1.8.9

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.1.8.10

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.1.8.11

Associez des termes.

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Étape 4.1.8.11.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

Étape 4.1.8.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.2.1

Déplacez $x$ .

Étape 4.1.8.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.1.8.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

Étape 4.1.8.11.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{4}$ .

Étape 4.1.8.11.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

Étape 4.1.8.11.5

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.5.1

Déplacez $x$ .

Étape 4.1.8.11.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.1.8.11.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

Étape 4.1.8.11.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

Étape 4.1.8.11.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.1.8.11.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.9

Additionnez $1$ et $4$ .

Étape 4.1.8.11.10

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.10.1

Déplacez $x$ .

Étape 4.1.8.11.10.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.1.8.11.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

Étape 4.1.8.11.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

Étape 4.1.8.11.12

Multipliez $2$ par $5$ .

Étape 4.1.8.11.13

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

Étape 4.1.8.11.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.1.8.11.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.1.8.11.16

Additionnez $1$ et $3$ .

Étape 4.1.8.11.17

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

Étape 4.1.8.11.18

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.19

Soustrayez $4 x^{4}$ de $10 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2} x^{2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.20

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.20.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 (x^{2} x^{2})) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{2 + 2}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.20.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + x (3 x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.21

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 (x^{1} x^{4}) + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{1 + 4} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.23

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2} x^{2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.24

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.24.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 (x^{2} x^{2})) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.24.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{2 + 2}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.24.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 5 (3 x^{4}) + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.25

Multipliez $3$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (3 (- 4 x) x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.26

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x \cdot x^{2}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.27

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.27.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x)) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.27.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.8.11.27.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 (x^{2} x^{1})) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.27.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{2 + 1}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.27.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} + x (- 12 x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.28

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 (x^{1} x^{3}) + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{1 + 3} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.30

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (3 (- 4 x) x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.31

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x \cdot x^{2}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.32

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.32.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x)) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.32.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.11.32.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 (x^{2} x^{1})) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.32.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{2 + 1}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.32.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} + 5 (- 12 x^{3}) + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.33

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 15 x^{4} - 12 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.34

Soustrayez $12 x^{4}$ de $15 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (3 \cdot 4 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.35

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + x (12 x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.36

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.37

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{1 + 2} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.38

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (3 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.39

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 5 (12 x^{2})$

Étape 4.1.8.11.40

Multipliez $12$ par $5$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 60 x^{3} + 12 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.41

Additionnez $- 60 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{5} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.42

Additionnez $2 x^{5}$ et $3 x^{5}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 6 x^{4} - 20 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.43

Additionnez $6 x^{4}$ et $3 x^{4}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 20 x^{3} - 48 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.44

Soustrayez $48 x^{3}$ de $- 20 x^{3}$ .

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 5 x^{5} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.45

Additionnez $x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{4} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.46

Additionnez $- 4 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{3} - 68 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.1.8.11.47

Soustrayez $68 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) - 64 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 64 x^{3}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $60 x^{2}$ .

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (5 x^{2})$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2}) + x^{2} (- 64 x)$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x) + x^{2} \cdot 60 = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$x^{2} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 5.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 60, \pm 10, \pm 30, \pm 20, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 5, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 3.\overline{3}, \pm 6.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 12, \pm 6$

Étape 5.2.2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$6 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$6 \cdot 8 + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.3

Multipliez $6$ par $8$ .

$48 + 5 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$48 + 5 \cdot 4 - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$48 + 20 - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.6

Additionnez $48$ et $20$ .

$68 - 64 \cdot 2 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.7

Multipliez $- 64$ par $2$ .

$68 - 128 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.8

Soustrayez $128$ de $68$ .

$- 60 + 60$

Étape 5.2.2.1.3.9

Additionnez $- 60$ et $60$ .

$0$

Étape 5.2.2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60}{x - 2}$

Étape 5.2.2.1.5

Divisez $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ par $x - 2$ .

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Étape 5.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$6 x^{3}$

$5 x^{2}$

$64 x$

$60$

Étape 5.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$6 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			+	$6 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} - 12 x^{2}$

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x^{2}$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$

Étape 5.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $17 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$

Étape 5.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$34 x$

Étape 5.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $17 x^{2} - 34 x$

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$

Étape 5.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$

Étape 5.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 30 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							-	$30 x$	+	$60$

Étape 5.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 30 x + 60$

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							+	$30 x$	-	$60$

Étape 5.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x^{2}$	+	$17 x$	-	$30$
$x$	-	$2$		$6 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$64 x$	+	$60$
			-	$6 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$17 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							-	$30 x$	+	$60$
							+	$30 x$	-	$60$
										$0$

Étape 5.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$6 x^{2} + 17 x - 30$

Étape 5.2.2.1.6

Écrivez $6 x^{3} + 5 x^{2} - 64 x + 60$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} ((x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.6

Définissez $6 x^{2} + 17 x - 30$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $6 x^{2} + 17 x - 30$ égal à $0$ .

$6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $6 x^{2} + 17 x - 30 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = 17$ et $c = - 30$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 30)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.2.3.1.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

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Étape 5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3.1.3

Additionnez $289$ et $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.4.1.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.4.1.3

Additionnez $289$ et $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.4.4

Réécrivez $- 17$ comme $- 1 (17)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{1009}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - 1 (- \sqrt{1009})}{12}$

Étape 5.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (17) - 1 (- \sqrt{1009})$ .

$x = \frac{- 1 (17 - \sqrt{1009})}{12}$

Étape 5.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.5.1.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 6 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 30$ .

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Étape 5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 24 \cdot - 30}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 30$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 720}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.5.1.3

Additionnez $289$ et $720$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 17 - \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.5.4

Réécrivez $- 17$ comme $- 1 (17)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{1009}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 17 - (\sqrt{1009})}{12}$

Étape 5.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (17) - (\sqrt{1009})$ .

$x = \frac{- 1 (17 + \sqrt{1009})}{12}$

Étape 5.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 2) (6 x^{2} + 17 x - 30) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Étape 9.1.4

Multipliez $20$ par $0$ .

$0 + 0 - 192 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 192 \cdot 0 + 120 (0)$

Étape 9.1.6

Multipliez $- 192$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 120 (0)$

Étape 9.1.7

Multipliez $120$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}) \cup (- \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 7$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12})$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f' (- 7) = 6 {(- 7)}^{5} + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $5$ .

$f' (- 7) = 6 \cdot - 16807 + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 16807$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 5 {(- 7)}^{4} - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 7$ à la puissance $4$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 5 \cdot 2401 - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $5$ par $2401$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 - 64 {(- 7)}^{3} + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 - 64 \cdot - 343 + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $- 343$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 60 {(- 7)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.7

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 60 \cdot 49$

Étape 10.2.2.1.8

Multipliez $60$ par $49$ .

$f' (- 7) = - 100842 + 12005 + 21952 + 2940$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $- 100842$ et $12005$ .

$f' (- 7) = - 88837 + 21952 + 2940$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $- 88837$ et $21952$ .

$f' (- 7) = - 66885 + 2940$

Étape 10.2.2.2.3

Additionnez $- 66885$ et $2940$ .

$f' (- 7) = - 63945$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 63945$ .

$- 63945$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}, 0)$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 + 5 {(- 2)}^{4} - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 5 \cdot 16 - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $5$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 - 64 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 - 64 \cdot - 8 + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 60 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 60 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.8

Multipliez $60$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 80 + 512 + 240$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $- 192$ et $80$ .

$f' (- 2) = - 112 + 512 + 240$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 112$ et $512$ .

$f' (- 2) = 400 + 240$

Étape 10.3.2.2.3

Additionnez $400$ et $240$ .

$f' (- 2) = 640$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $640$ .

$640$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12})$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + 5 - 64 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60 \cdot 1$

Étape 10.4.2.1.8

Multipliez $60$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 64 + 60$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.2.1

Additionnez $6$ et $5$ .

$f' (1) = 11 - 64 + 60$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $64$ de $11$ .

$f' (1) = - 53 + 60$

Étape 10.4.2.2.3

Additionnez $- 53$ et $60$ .

$f' (1) = 7$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $7$ .

$7$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $1.62$ , de l’intervalle $(- \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}, 2)$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.62$ dans l’expression.

$f' (1.62) = 6 {(1.62)}^{5} + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1.1

Élevez $1.62$ à la puissance $5$ .

$f' (1.62) = 6 \cdot 11.15771008 + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $6$ par $11.15771008$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 5 {(1.62)}^{4} - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $1.62$ à la puissance $4$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 5 \cdot 6.88747536 - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $5$ par $6.88747536$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 64 {(1.62)}^{3} + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $1.62$ à la puissance $3$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 64 \cdot 4.251528 + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $4.251528$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 60 {(1.62)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.7

Élevez $1.62$ à la puissance $2$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 60 \cdot 2.6244$

Étape 10.5.2.1.8

Multipliez $60$ par $2.6244$ .

$f' (1.62) = 66.94626049 + 34.4373768 - 272.097792 + 157.464$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.2.1

Additionnez $66.94626049$ et $34.4373768$ .

$f' (1.62) = 101.38363729 - 272.097792 + 157.464$

Étape 10.5.2.2.2

Soustrayez $272.097792$ de $101.38363729$ .

$f' (1.62) = - 170.7141547 + 157.464$

Étape 10.5.2.2.3

Additionnez $- 170.7141547$ et $157.464$ .

$f' (1.62) = - 13.2501547$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $- 13.2501547$ .

$- 13.2501547$

Étape 10.6

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 64 x^{3} + 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.2

Multipliez $6$ par $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.4

Multipliez $5$ par $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 64 {(4)}^{3} + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 64 \cdot 64 + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.6.2.1.7

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 60 \cdot 16$

Étape 10.6.2.1.8

Multipliez $60$ par $16$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 4096 + 960$

Étape 10.6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.6.2.2.1

Additionnez $6144$ et $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 4096 + 960$

Étape 10.6.2.2.2

Soustrayez $4096$ de $7424$ .

$f' (4) = 3328 + 960$

Étape 10.6.2.2.3

Additionnez $3328$ et $960$ .

$f' (4) = 4288$

Étape 10.6.2.3

La réponse finale est $4288$ .

$4288$

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ , $x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ est un minimum local.

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ est un minimum local

Étape 10.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.9

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ , $x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ est un maximum local.

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ est un maximum local

Étape 10.10

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 10.11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 5)$ .

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ est un minimum local

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - \frac{17 + \sqrt{1009}}{12}$ est un minimum local

$x = - \frac{17 - \sqrt{1009}}{12}$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11