Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ .

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Associez $4$ et $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} + 16 x$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $4 x$ à partir de $16 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (4)$ .

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ sur $x = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $(0) + 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(0)}^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

Étape 3.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Étape 3.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

Étape 3.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Étape 3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ sur $x = - 4$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $(- 4) + 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(- 4)}^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

Étape 4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

Étape 4.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

Étape 4.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Étape 4.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

Étape 4.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

Étape 4.2.2.4

Divisez $32$ par $- 1$ .

$f (- 4) = - 32$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 32$ .

$- 32$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ sont $y = 0, y = - 32$ .

$y = 0, y = - 32$

Étape 6