Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{2} + 18 x - 96 + \frac{200}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 18 x - 96 + \frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$- 2 x + 18 + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.4

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x + 18 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 (- x^{- 2})$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$- 2 x + 18 + 0 - 200 x^{- 2}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 18 + 0 - 200 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.6.2.1

Additionnez $- 2 x + 18$ et $0$ .

$- 2 x + 18 - 200 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Associez $- 200$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 2 x + 18 + \frac{- 200}{x^{2}}$

Étape 1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 x + 18 - \frac{200}{x^{2}}$

Étape 1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{200}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{200}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{200}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 - 200 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 - 200 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 200$ .

$f'' (x) = - 2 + 400 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 2.4

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 400 x^{- 3} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 400 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $400$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{400}{x^{3}} + 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $- 2 + \frac{400}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{400}{x^{3}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{400}{x^{3}} - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$- 2 x + 18 + \frac{d}{d x} [- 96] + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.4

Comme $- 96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 96$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x + 18 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 x + 18 + 0 + 200 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$- 2 x + 18 + 0 - 200 x^{- 2}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 18 + 0 - 200 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.2.1

Additionnez $- 2 x + 18$ et $0$ .

$- 2 x + 18 - 200 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2.2

Associez $- 200$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 2 x + 18 + \frac{- 200}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 x + 18 - \frac{200}{x^{2}}$

Étape 4.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18$ .

$- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18 = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18 = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 2 x - \frac{200}{x^{2}} + 18 = 0$ par $x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - \frac{200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) - \frac{200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) - \frac{200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{2 + 1} - \frac{200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 x^{3} - \frac{200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{200}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$- 2 x^{3} + \frac{- 200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{3} + \frac{- 200}{x^{2}} x^{2} + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{3} - 200 + 18 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 200 + 18 x^{2} = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3} - 200 + 18 x^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Déplacez $- 200$ .

$- 2 x^{3} + 18 x^{2} - 200 = 0$

Étape 5.4.1.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 18 x^{2} - 200 = 0$

Étape 5.4.1.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} - 2 (- 9 x^{2}) - 200 = 0$

Étape 5.4.1.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 200$ .

$- 2 x^{3} - 2 (- 9 x^{2}) - 2 \cdot 100 = 0$

Étape 5.4.1.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{3}) - 2 (- 9 x^{2})$ .

$- 2 (x^{3} - 9 x^{2}) - 2 \cdot 100 = 0$

Étape 5.4.1.1.6

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{3} - 9 x^{2}) - 2 (100)$ .

$- 2 (x^{3} - 9 x^{2} + 100) = 0$

Étape 5.4.1.2

Factorisez.

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Étape 5.4.1.2.1

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 100$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.4.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 5.4.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

Étape 5.4.1.2.1.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.4.1.2.1.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{3} - 9 \cdot 5^{2} + 100$

Étape 5.4.1.2.1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 9 \cdot 5^{2} + 100$

Étape 5.4.1.2.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 9 \cdot 25 + 100$

Étape 5.4.1.2.1.3.4

Multipliez $- 9$ par $25$ .

$125 - 225 + 100$

Étape 5.4.1.2.1.3.5

Soustrayez $225$ de $125$ .

$- 100 + 100$

Étape 5.4.1.2.1.3.6

Additionnez $- 100$ et $100$ .

$0$

Étape 5.4.1.2.1.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 100}{x - 5}$

Étape 5.4.1.2.1.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 100$ par $x - 5$ .

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Étape 5.4.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 5.4.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 5.4.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 5.4.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.4.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.4.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

Étape 5.4.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 20 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

Étape 5.4.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$

Étape 5.4.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$20$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$20$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$100$
							-	$20 x$	+	$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x + 100$

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$20$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$100$
							+	$20 x$	-	$100$

Étape 5.4.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$20$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$100$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$20 x$	+	$100$
							+	$20 x$	-	$100$
										$0$

Étape 5.4.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x - 20$

Étape 5.4.1.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 100$ comme un ensemble de facteurs.

$- 2 ((x - 5) (x^{2} - 4 x - 20)) = 0$

Étape 5.4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 5) (x^{2} - 4 x - 20) = 0$

Étape 5.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 20 = 0$

Étape 5.4.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.4.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5.4.4

Définissez $x^{2} - 4 x - 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Définissez $x^{2} - 4 x - 20$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x - 20 = 0$

Étape 5.4.4.2

Résolvez $x^{2} - 4 x - 20 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.3

Additionnez $16$ et $80$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.4.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.3

Additionnez $16$ et $80$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.4.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Étape 5.4.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.3

Additionnez $16$ et $80$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.4

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 2 \sqrt{6}, 2 - 2 \sqrt{6}$

Étape 5.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 5) (x^{2} - 4 x - 20) = 0$ vraie.

$x = 5, 2 + 2 \sqrt{6}, 2 - 2 \sqrt{6}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{200}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5, 2 + 2 \sqrt{6}, 2 - 2 \sqrt{6}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{400}{{(5)}^{3}} - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{125} - 2$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun à $400$ et $125$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $400$ .

$\frac{25 (16)}{125} - 2$

Étape 9.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{25 \cdot 16}{25 \cdot 5} - 2$

Étape 9.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot 16}{25 \cdot 5} - 2$

Étape 9.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{5} - 2$

Étape 9.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{16 - 10}{5}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $10$ de $16$ .

$\frac{6}{5}$

Étape 10

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 18 (5) - 96 + \frac{200}{5}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 18 (5) - 96 + \frac{200}{5}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (5) = - 25 + 18 (5) - 96 + \frac{200}{5}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $18$ par $5$ .

$f (5) = - 25 + 90 - 96 + \frac{200}{5}$

Étape 11.2.1.4

Divisez $200$ par $5$ .

$f (5) = - 25 + 90 - 96 + 40$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 25$ et $90$ .

$f (5) = 65 - 96 + 40$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $96$ de $65$ .

$f (5) = - 31 + 40$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $- 31$ et $40$ .

$f (5) = 9$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $9$ .

$y = 9$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 + 2 \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{400}{{(2 + 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{400}{2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 2^{2} (2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.2

Multipliez $2^{2}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.2.1

Déplacez $2$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot (2 \cdot 2^{2}) \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 13.1.2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot (2^{1} \cdot 2^{2}) \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 2^{1 + 2} \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 2^{3} \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 8 \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (2^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 13.1.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{1}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6) + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.9

Multipliez $6 (4 \cdot 6)$ .

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Étape 13.1.2.9.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 6 \cdot 24 + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.9.2

Multipliez $6$ par $24$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + {(2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 2^{3} {\sqrt{6}}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 {\sqrt{6}}^{3}} - 2$

Étape 13.1.2.12

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{6^{3}}} - 2$

Étape 13.1.2.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{216}} - 2$

Étape 13.1.2.14

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 13.1.2.14.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{36 (6)}} - 2$

Étape 13.1.2.14.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}} - 2$

Étape 13.1.2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 (6 \sqrt{6})} - 2$

Étape 13.1.2.16

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{400}{8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 48 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.3

Additionnez $8$ et $144$ .

$\frac{400}{152 + 24 \sqrt{6} + 48 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.4

Additionnez $24 \sqrt{6}$ et $48 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{152 + 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun à $400$ et $152 + 72 \sqrt{6}$ .

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Étape 13.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$\frac{8 (50)}{152 + 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $152$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 \cdot 19 + 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.5.2.2

Factorisez $8$ à partir de $72 \sqrt{6}$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 \cdot 19 + 8 (9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 13.1.5.2.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (19) + 8 (9 \sqrt{6})$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 (19 + 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 13.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 50}{8 (19 + 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 13.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{50}{19 + 9 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.6

Multipliez $\frac{50}{19 + 9 \sqrt{6}}$ par $\frac{19 - 9 \sqrt{6}}{19 - 9 \sqrt{6}}$ .

$\frac{50}{19 + 9 \sqrt{6}} \cdot \frac{19 - 9 \sqrt{6}}{19 - 9 \sqrt{6}} - 2$

Étape 13.1.7

Multipliez $\frac{50}{19 + 9 \sqrt{6}}$ par $\frac{19 - 9 \sqrt{6}}{19 - 9 \sqrt{6}}$ .

$\frac{50 (19 - 9 \sqrt{6})}{(19 + 9 \sqrt{6}) (19 - 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 13.1.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{50 (19 - 9 \sqrt{6})}{361 - 171 \sqrt{6} + 171 \sqrt{6} - 81 {\sqrt{6}}^{2}} - 2$

Étape 13.1.9

Simplifiez

$\frac{50 (19 - 9 \sqrt{6})}{- 125} - 2$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun à $50$ et $- 125$ .

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Étape 13.1.10.1

Factorisez $25$ à partir de $50 (19 - 9 \sqrt{6})$ .

$\frac{25 (2 (19 - 9 \sqrt{6}))}{- 125} - 2$

Étape 13.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.10.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 125$ .

$\frac{25 (2 (19 - 9 \sqrt{6}))}{25 (- 5)} - 2$

Étape 13.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (2 (19 - 9 \sqrt{6}))}{25 \cdot - 5} - 2$

Étape 13.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (19 - 9 \sqrt{6})}{- 5} - 2$

Étape 13.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (19 - 9 \sqrt{6})}{5} - 2$

Étape 13.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 (19 - 9 \sqrt{6})}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 13.3

Associez les fractions.

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Étape 13.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 (19 - 9 \sqrt{6})}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (19 - 9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 19 - 2 (- 9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 13.4.2

Multipliez $- 2$ par $19$ .

$\frac{- 38 - 2 (- 9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 13.4.3

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$\frac{- 38 + 18 \sqrt{6} - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 13.4.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 38 + 18 \sqrt{6} - 10}{5}$

Étape 13.4.5

Soustrayez $10$ de $- 38$ .

$\frac{- 48 + 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 13.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$\frac{- 1 (48) + 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 13.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $18 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 1 (48) - (- 18 \sqrt{6})}{5}$

Étape 13.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (48) - (- 18 \sqrt{6})$ .

$\frac{- 1 (48 - 18 \sqrt{6})}{5}$

Étape 13.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{48 - 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 14

$x = 2 + 2 \sqrt{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2 + 2 \sqrt{6}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 2 + 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $2 + 2 \sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.1.1

Écrivez $- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{1} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $\frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{1} \cdot \frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.4

Écrivez $18 (2 + 2 \sqrt{6})$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6})}{1} - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $\frac{18 (2 + 2 \sqrt{6})}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6})}{1} \cdot \frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}} - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $\frac{18 (2 + 2 \sqrt{6})}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} - 96 + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.7

Écrivez $- 96$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{- 96}{1} + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $\frac{- 96}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{- 96}{1} \cdot \frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.1.9

Multipliez $\frac{- 96}{1}$ par $\frac{2 + 2 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{- 96 (2 + 2 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}} + \frac{200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2} (2 + 2 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.3.1

Multipliez ${(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}$ par $2 + 2 \sqrt{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.3.1.1

Déplacez $2 + 2 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- ((2 + 2 \sqrt{6}) {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.1.2

Multipliez $2 + 2 \sqrt{6}$ par ${(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}$ .

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Étape 15.2.3.1.2.1

Élevez $2 + 2 \sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- ((2 + 2 \sqrt{6}) {(2 + 2 \sqrt{6})}^{2}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{1 + 2} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- {(2 + 2 \sqrt{6})}^{3} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.2

Utilisez le théorème du binôme.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{6})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 3 \cdot (2^{2} (2 \sqrt{6})) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.2

Multipliez $2^{2}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.3.3.2.1

Déplacez $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 3 \cdot ((2 \cdot 2^{2}) \sqrt{6}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 15.2.3.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

Étape 15.2.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 3 \cdot (2^{1 + 2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 3 \cdot (2^{3} \sqrt{6}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 3 \cdot (8 \sqrt{6}) + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 3 \cdot (2 {(2 \sqrt{6})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 {(2 \sqrt{6})}^{2} + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (2^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 {\sqrt{6}}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.3.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.3.3.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.8.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6) + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.9

Multipliez $6 (4 \cdot 6)$ .

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Étape 15.2.3.3.9.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 6 \cdot 24 + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.9.2

Multipliez $6$ par $24$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + {(2 \sqrt{6})}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 2^{3} {\sqrt{6}}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 {\sqrt{6}}^{3}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.12

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{6^{3}}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{216}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.14

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 15.2.3.3.14.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{36 (6)}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.14.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 8 (6 \sqrt{6})) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.3.16

Multipliez $6$ par $8$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (8 + 24 \sqrt{6} + 144 + 48 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.4

Additionnez $8$ et $144$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (152 + 24 \sqrt{6} + 48 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.5

Additionnez $24 \sqrt{6}$ et $48 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- (152 + 72 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 1 \cdot 152 - (72 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $152$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - (72 \sqrt{6}) + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.8

Multipliez $72$ par $- 1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 18 (2 + 2 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + (18 \cdot 2 + 18 (2 \sqrt{6})) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.10

Multipliez $18$ par $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + (36 + 18 (2 \sqrt{6})) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.11

Multipliez $2$ par $18$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + (36 + 36 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.12

Développez $(36 + 36 \sqrt{6}) (2 + 2 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 36 (2 + 2 \sqrt{6}) + 36 \sqrt{6} (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 36 \cdot 2 + 36 (2 \sqrt{6}) + 36 \sqrt{6} (2 + 2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 36 \cdot 2 + 36 (2 \sqrt{6}) + 36 \sqrt{6} \cdot 2 + 36 \sqrt{6} (2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.3.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.3.13.1.1

Multipliez $36$ par $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 36 (2 \sqrt{6}) + 36 \sqrt{6} \cdot 2 + 36 \sqrt{6} (2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} \cdot 2 + 36 \sqrt{6} (2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.3

Multipliez $2$ par $36$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} (2 \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.4

Multipliez $36 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$ .

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Étape 15.2.3.13.1.4.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} \sqrt{6} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 (\sqrt{6} \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 (\sqrt{6} \sqrt{6}) - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 {\sqrt{6}}^{1 + 1} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 {\sqrt{6}}^{2} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.3.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.3.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \cdot 6^{\frac{2}{2}} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \cdot 6 - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 72 \cdot 6 - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.1.6

Multipliez $72$ par $6$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 72 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + 432 - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.2

Additionnez $72$ et $432$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 504 + 72 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.13.3

Additionnez $72 \sqrt{6}$ et $72 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 504 + 144 \sqrt{6} - 96 (2 + 2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.14

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 504 + 144 \sqrt{6} - 96 \cdot 2 - 96 (2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.15

Multipliez $- 96$ par $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 504 + 144 \sqrt{6} - 192 - 96 (2 \sqrt{6}) + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.3.16

Multipliez $2$ par $- 96$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{- 152 - 72 \sqrt{6} + 504 + 144 \sqrt{6} - 192 - 192 \sqrt{6} + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 15.2.4.1

Additionnez $- 152$ et $504$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{352 - 72 \sqrt{6} + 144 \sqrt{6} - 192 - 192 \sqrt{6} + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.4.2.1

Soustrayez $192$ de $352$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{160 - 72 \sqrt{6} + 144 \sqrt{6} - 192 \sqrt{6} + 200}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.2.2

Additionnez $160$ et $200$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{360 - 72 \sqrt{6} + 144 \sqrt{6} - 192 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.3

Additionnez $- 72 \sqrt{6}$ et $144 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{360 + 72 \sqrt{6} - 192 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.4

Soustrayez $192 \sqrt{6}$ de $72 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{360 - 120 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.5

Annulez le facteur commun à $360 - 120 \sqrt{6}$ et $2 + 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 15.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $360$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 \cdot 180 - 120 \sqrt{6}}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 120 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 \cdot 180 + 2 (- 60 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (180) + 2 (- 60 \sqrt{6})$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 (180 - 60 \sqrt{6})}{2 + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.4.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 (180 - 60 \sqrt{6})}{2 (1) + 2 \sqrt{6}}$

Étape 15.2.4.5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 (180 - 60 \sqrt{6})}{2 (1) + 2 (\sqrt{6})}$

Étape 15.2.4.5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (\sqrt{6})$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 (180 - 60 \sqrt{6})}{2 (1 + \sqrt{6})}$

Étape 15.2.4.5.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{2 (180 - 60 \sqrt{6})}{2 (1 + \sqrt{6})}$

Étape 15.2.4.5.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{180 - 60 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$

Étape 15.2.5

Multipliez $\frac{180 - 60 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$ par $\frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{180 - 60 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} \cdot \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}}$

Étape 15.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 15.2.6.1

Multipliez $\frac{180 - 60 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$ par $\frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{(180 - 60 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})}{(1 + \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})}$

Étape 15.2.6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{(180 - 60 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})}{1 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 15.2.6.3

Simplifiez

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{(180 - 60 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})}{- 5}$

Étape 15.2.6.4

Annulez le facteur commun à $180 - 60 \sqrt{6}$ et $- 5$ .

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Étape 15.2.6.4.1

Factorisez $5$ à partir de $(180 - 60 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = \frac{5 ((36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6}))}{- 5}$

Étape 15.2.6.4.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})}{- 1}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - 1 \cdot ((36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6}))$

Étape 15.2.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot ((36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6}))$ comme $- ((36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6}))$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - ((36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6}))$

Étape 15.2.7

Développez $(36 - 12 \sqrt{6}) (1 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 (1 - \sqrt{6}) - 12 \sqrt{6} (1 - \sqrt{6}))$

Étape 15.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 \cdot 1 + 36 (- \sqrt{6}) - 12 \sqrt{6} (1 - \sqrt{6}))$

Étape 15.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 \cdot 1 + 36 (- \sqrt{6}) - 12 \sqrt{6} \cdot 1 - 12 \sqrt{6} (- \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.8.1.1

Multipliez $36$ par $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 + 36 (- \sqrt{6}) - 12 \sqrt{6} \cdot 1 - 12 \sqrt{6} (- \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} \cdot 1 - 12 \sqrt{6} (- \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8.1.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} (- \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8.1.4

Multipliez $- 12 \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6} \sqrt{6})$

Étape 15.2.8.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 (\sqrt{6} \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 (\sqrt{6} \sqrt{6}))$

Étape 15.2.8.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 {\sqrt{6}}^{1 + 1})$

Étape 15.2.8.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 {\sqrt{6}}^{2})$

Étape 15.2.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 15.2.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 15.2.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \cdot 6^{\frac{2}{2}})$

Étape 15.2.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \cdot 6^{\frac{2}{2}})$

Étape 15.2.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \cdot 6)$

Étape 15.2.8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 12 \cdot 6)$

Étape 15.2.8.1.6

Multipliez $12$ par $6$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (36 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 72)$

Étape 15.2.8.2

Additionnez $36$ et $72$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (108 - 36 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6})$

Étape 15.2.8.3

Soustrayez $12 \sqrt{6}$ de $- 36 \sqrt{6}$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - (108 - 48 \sqrt{6})$

Étape 15.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - 1 \cdot 108 - (- 48 \sqrt{6})$

Étape 15.2.10

Multipliez.

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Étape 15.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - 108 - (- 48 \sqrt{6})$

Étape 15.2.10.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$f (2 + 2 \sqrt{6}) = - 108 + 48 \sqrt{6}$

Étape 15.2.11

La réponse finale est $- 108 + 48 \sqrt{6}$ .

$y = - 108 + 48 \sqrt{6}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 - 2 \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{400}{{(2 - 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{400}{2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 2^{2} (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{400}{8 + 3 \cdot 4 (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{400}{8 + 12 (- 2 \sqrt{6}) + 3 \cdot 2 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 3 \cdot 2 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 {(- 2 \sqrt{6})}^{2} + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 17.1.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6^{1}) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 (4 \cdot 6) + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.9

Multipliez $6 (4 \cdot 6)$ .

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Étape 17.1.2.9.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 6 \cdot 24 + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.9.2

Multipliez $6$ par $24$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 + {(- 2 \sqrt{6})}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.10

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.11

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 {\sqrt{6}}^{3}} - 2$

Étape 17.1.2.12

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 \sqrt{6^{3}}} - 2$

Étape 17.1.2.13

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 \sqrt{216}} - 2$

Étape 17.1.2.14

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 17.1.2.14.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 \sqrt{36 (6)}} - 2$

Étape 17.1.2.14.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 \sqrt{6^{2} \cdot 6}} - 2$

Étape 17.1.2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 8 (6 \sqrt{6})} - 2$

Étape 17.1.2.16

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$\frac{400}{8 - 24 \sqrt{6} + 144 - 48 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.3

Additionnez $8$ et $144$ .

$\frac{400}{152 - 24 \sqrt{6} - 48 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.4

Soustrayez $48 \sqrt{6}$ de $- 24 \sqrt{6}$ .

$\frac{400}{152 - 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.5

Annulez le facteur commun à $400$ et $152 - 72 \sqrt{6}$ .

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Étape 17.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$\frac{8 (50)}{152 - 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.5.2.1

Factorisez $8$ à partir de $152$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 \cdot 19 - 72 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.5.2.2

Factorisez $8$ à partir de $- 72 \sqrt{6}$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 \cdot 19 + 8 (- 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 17.1.5.2.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (19) + 8 (- 9 \sqrt{6})$ .

$\frac{8 \cdot 50}{8 (19 - 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 17.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 50}{8 (19 - 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 17.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{50}{19 - 9 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.6

Multipliez $\frac{50}{19 - 9 \sqrt{6}}$ par $\frac{19 + 9 \sqrt{6}}{19 + 9 \sqrt{6}}$ .

$\frac{50}{19 - 9 \sqrt{6}} \cdot \frac{19 + 9 \sqrt{6}}{19 + 9 \sqrt{6}} - 2$

Étape 17.1.7

Multipliez $\frac{50}{19 - 9 \sqrt{6}}$ par $\frac{19 + 9 \sqrt{6}}{19 + 9 \sqrt{6}}$ .

$\frac{50 (19 + 9 \sqrt{6})}{(19 - 9 \sqrt{6}) (19 + 9 \sqrt{6})} - 2$

Étape 17.1.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{50 (19 + 9 \sqrt{6})}{361 + 171 \sqrt{6} - 171 \sqrt{6} - 81 {\sqrt{6}}^{2}} - 2$

Étape 17.1.9

Simplifiez

$\frac{50 (19 + 9 \sqrt{6})}{- 125} - 2$

Étape 17.1.10

Annulez le facteur commun à $50$ et $- 125$ .

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Étape 17.1.10.1

Factorisez $25$ à partir de $50 (19 + 9 \sqrt{6})$ .

$\frac{25 (2 (19 + 9 \sqrt{6}))}{- 125} - 2$

Étape 17.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.10.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 125$ .

$\frac{25 (2 (19 + 9 \sqrt{6}))}{25 (- 5)} - 2$

Étape 17.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 (2 (19 + 9 \sqrt{6}))}{25 \cdot - 5} - 2$

Étape 17.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (19 + 9 \sqrt{6})}{- 5} - 2$

Étape 17.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (19 + 9 \sqrt{6})}{5} - 2$

Étape 17.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 (19 + 9 \sqrt{6})}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 17.3

Associez les fractions.

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Étape 17.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 (19 + 9 \sqrt{6})}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Étape 17.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (19 + 9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 19 - 2 (9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 17.4.2

Multipliez $- 2$ par $19$ .

$\frac{- 38 - 2 (9 \sqrt{6}) - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 17.4.3

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$\frac{- 38 - 18 \sqrt{6} - 2 \cdot 5}{5}$

Étape 17.4.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 38 - 18 \sqrt{6} - 10}{5}$

Étape 17.4.5

Soustrayez $10$ de $- 38$ .

$\frac{- 48 - 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 17.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 17.5.1

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$\frac{- 1 (48) - 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 17.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 18 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 1 (48) - (18 \sqrt{6})}{5}$

Étape 17.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (48) - (18 \sqrt{6})$ .

$\frac{- 1 (48 + 18 \sqrt{6})}{5}$

Étape 17.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{48 + 18 \sqrt{6}}{5}$

Étape 18

$x = 2 - 2 \sqrt{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2 - 2 \sqrt{6}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 2 - 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $2 - 2 \sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - {(2 - 2 \sqrt{6})}^{2} + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Réécrivez ${(2 - 2 \sqrt{6})}^{2}$ comme $(2 - 2 \sqrt{6}) (2 - 2 \sqrt{6})$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - ((2 - 2 \sqrt{6}) (2 - 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.2

Développez $(2 - 2 \sqrt{6}) (2 - 2 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (2 (2 - 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} (2 - 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} (2 - 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (2 \cdot 2 + 2 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} \cdot 2 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 + 2 (- 2 \sqrt{6}) - 2 \sqrt{6} \cdot 2 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} \cdot 2 - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 19.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \sqrt{6}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 (\sqrt{6} \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 (\sqrt{6} \sqrt{6})) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{6}}^{2}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \cdot 6) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 4 \cdot 6) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $6$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (4 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 24) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.2

Additionnez $4$ et $24$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (28 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{6}$ de $- 4 \sqrt{6}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - (28 - 8 \sqrt{6}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 1 \cdot 28 - (- 8 \sqrt{6}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $28$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 - (- 8 \sqrt{6}) + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 18 (2 - 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 18 \cdot 2 + 18 (- 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.8

Multipliez $18$ par $2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 + 18 (- 2 \sqrt{6}) - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.9

Multipliez $- 2$ par $18$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{200}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.10

Annulez le facteur commun à $200$ et $2 - 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 19.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $200$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{2 (100)}{2 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 1 - 2 \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{6}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{6})}$

Étape 19.2.1.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \sqrt{6})$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{2 \cdot 100}{2 (1 - \sqrt{6})}$

Étape 19.2.1.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{2 \cdot 100}{2 (1 - \sqrt{6})}$

Étape 19.2.1.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{100}{1 - \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.11

Multipliez $\frac{100}{1 - \sqrt{6}}$ par $\frac{1 + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{100}{1 - \sqrt{6}} \cdot \frac{1 + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$

Étape 19.2.1.12

Multipliez $\frac{100}{1 - \sqrt{6}}$ par $\frac{1 + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{100 (1 + \sqrt{6})}{(1 - \sqrt{6}) (1 + \sqrt{6})}$

Étape 19.2.1.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{100 (1 + \sqrt{6})}{1 + \sqrt{6} - \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 19.2.1.14

Simplifiez

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{100 (1 + \sqrt{6})}{- 5}$

Étape 19.2.1.15

Annulez le facteur commun à $100$ et $- 5$ .

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Étape 19.2.1.15.1

Factorisez $5$ à partir de $100 (1 + \sqrt{6})$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 + \frac{5 (20 (1 + \sqrt{6}))}{- 5}$

Étape 19.2.1.15.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{20 (1 + \sqrt{6})}{- 1}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - 1 \cdot (20 (1 + \sqrt{6}))$

Étape 19.2.1.16

Réécrivez $- 1 \cdot (20 (1 + \sqrt{6}))$ comme $- (20 (1 + \sqrt{6}))$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - (20 (1 + \sqrt{6}))$

Étape 19.2.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - (20 \cdot 1 + 20 \sqrt{6})$

Étape 19.2.1.18

Multipliez $20$ par $1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - (20 + 20 \sqrt{6})$

Étape 19.2.1.19

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - 1 \cdot 20 - (20 \sqrt{6})$

Étape 19.2.1.20

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - 20 - (20 \sqrt{6})$

Étape 19.2.1.21

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 28 + 8 \sqrt{6} + 36 - 36 \sqrt{6} - 96 - 20 - 20 \sqrt{6}$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 19.2.2.1

Additionnez $- 28$ et $36$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = 8 + 8 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} - 96 - 20 - 20 \sqrt{6}$

Étape 19.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 19.2.2.2.1

Soustrayez $96$ de $8$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 88 + 8 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} - 20 - 20 \sqrt{6}$

Étape 19.2.2.2.2

Soustrayez $20$ de $- 88$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 108 + 8 \sqrt{6} - 36 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6}$

Étape 19.2.2.3

Soustrayez $36 \sqrt{6}$ de $8 \sqrt{6}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 108 - 28 \sqrt{6} - 20 \sqrt{6}$

Étape 19.2.2.4

Soustrayez $20 \sqrt{6}$ de $- 28 \sqrt{6}$ .

$f (2 - 2 \sqrt{6}) = - 108 - 48 \sqrt{6}$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 108 - 48 \sqrt{6}$ .

$y = - 108 - 48 \sqrt{6}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{2} + 18 x - 96 + \frac{200}{x}$ .

$(5, 9)$ est un minimum local

$(2 + 2 \sqrt{6}, - 108 + 48 \sqrt{6})$ est un maximum local

$(2 - 2 \sqrt{6}, - 108 - 48 \sqrt{6})$ est un maximum local

Étape 21