Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 5)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 5) (x - 5))]$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 5) - 5 (x - 5))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 10 x + 25)]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ et $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25] + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.7

Additionnez $2 x - 10$ et $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 1.9.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 1.11

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 1.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3

Associez des termes.

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Étape 1.13.3.1

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 1.13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.3

Déplacez $- 10$ à gauche de $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.6

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.13.3.7.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.4

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.13.3.7.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.7.6.2

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.8

Associez $- 10$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 10 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.9

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.10

Associez $x$ et $\frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.11

Déplacez $- 40$ à gauche de $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.12

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.13.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 1.13.3.13.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.13.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.14

Factorisez $5$ à partir de $- 40 x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.3.15.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 (1)} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 8 x^{\frac{4}{5}}}{1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.15.4

Divisez $- 8 x^{\frac{4}{5}}$ par $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.16

Associez $25$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{25 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.17

Multipliez $25$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{100}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.18

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.3.19.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 (x^{\frac{1}{5}})}$

Étape 1.13.3.19.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.19.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.20

Pour écrire $2 x^{\frac{9}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.21

Associez $2 x^{\frac{9}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.23

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.24

Additionnez $10 x^{\frac{9}{5}}$ et $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.13.3.25

Soustrayez $8 x^{\frac{4}{5}}$ de $- 10 x^{\frac{4}{5}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 18 x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.9

Associez $- 18$ et $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $4$ par $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{- 72 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{14}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{14}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{9}{5}$ et $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14}{5} \cdot \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.8

Multipliez $\frac{14}{5}$ par $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{14 (9 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.9

Multipliez $9$ par $14$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3.10

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1})$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.4.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.4.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Étape 2.4.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Étape 2.4.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Étape 2.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Étape 2.4.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Étape 2.4.12

Associez $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.4.13

Multipliez $x^{- \frac{4}{5}}$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.4.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Étape 2.4.13.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Étape 2.4.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Étape 2.4.14

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + 20 (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Étape 2.4.15

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - 20 \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4.16

Associez $- 20$ et $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 20}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4.17

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.18.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{6}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{\frac{6}{5}})}$

Étape 2.4.18.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4.18.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 4}{x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{4}{x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 5) (x - 5))]$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 5) - 5 (x - 5))]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 10 x + 25)]$

Étape 4.1.4

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25] + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.5

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $2 x - 10$ et $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 4.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 4.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 4.1.9.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 4.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 4.1.11

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 4.1.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13

Simplifiez

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Étape 4.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.13.3.1

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.13.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 4.1.13.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 10 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.3

Déplacez $- 10$ à gauche de $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.6

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.13.3.7.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.4

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.13.3.7.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.7.6.2

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 10 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.8

Associez $- 10$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 10 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.9

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.10

Associez $x$ et $\frac{- 40}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 40}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.11

Déplacez $- 40$ à gauche de $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.12

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.13.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 4.1.13.3.13.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.13.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 40 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.14

Factorisez $5$ à partir de $- 40 x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.13.3.15.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 (1)} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{5 (- 8 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 8 x^{\frac{4}{5}}}{1} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.15.4

Divisez $- 8 x^{\frac{4}{5}}$ par $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + 25 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.16

Associez $25$ et $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{25 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.17

Multipliez $25$ par $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{100}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.18

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.13.3.19.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 (x^{\frac{1}{5}})}$

Étape 4.1.13.3.19.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{5 \cdot 20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.19.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.20

Pour écrire $2 x^{\frac{9}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.21

Associez $2 x^{\frac{9}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.23

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.24

Additionnez $10 x^{\frac{9}{5}}$ et $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 10 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 8 x^{\frac{4}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.13.3.25

Soustrayez $8 x^{\frac{4}{5}}$ de $- 10 x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = - 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$

Étape 5.2.2

Comme $1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 5, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{5}}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.5

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 5.2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.7

Le plus petit multiple commun de $1, 5, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{5}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.2.9

Le plus petit multiple commun pour $1, 5, x^{\frac{1}{5}}, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{5}} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 18 \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{1 + 4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 18 \cdot 5 x^{\frac{5}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.5

Divisez $5$ par $5$ .

$- 18 \cdot 5 x^{1} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez $- 18 \cdot 5 x^{1}$ .

$- 18 \cdot 5 x + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez $- 18$ par $5$ .

$- 90 x + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 90 x + 5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$- 90 x + 5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$- 90 x + 14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.7

Multipliez $x^{\frac{9}{5}}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.7.1

Déplacez $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 90 x + 14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 90 x + 14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 90 x + 14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.7.4

Additionnez $1$ et $9$ .

$- 90 x + 14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.7.5

Divisez $10$ par $5$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 90 x + 14 x^{2} + 5 \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.9

Multipliez $5 \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

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Étape 5.3.2.1.9.1

Associez $5$ et $\frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{5 \cdot 20}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.9.2

Multipliez $5$ par $20$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{100}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.10

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.3.2.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$- 90 x + 14 x^{2} + \frac{100}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 90 x + 14 x^{2} + 100 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$- 90 u + 14 u^{2} + 100 = 0$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 90 u + 14 u^{2} + 100$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 90 u$ .

$2 (- 45 u) + 14 u^{2} + 100 = 0$

Étape 5.4.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $14 u^{2}$ .

$2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2}) + 100 = 0$

Étape 5.4.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2}) + 2 (50) = 0$

Étape 5.4.1.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 45 u) + 2 (7 u^{2})$ .

$2 (- 45 u + 7 u^{2}) + 2 (50) = 0$

Étape 5.4.1.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 45 u + 7 u^{2}) + 2 (50)$ .

$2 (- 45 u + 7 u^{2} + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3

Factorisez.

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Étape 5.4.1.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.4.1.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (7 u^{2} - 45 u + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot 50 = 350$ et dont la somme est $b = - 45$ .

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Étape 5.4.1.3.1.2.1

Factorisez $- 45$ à partir de $- 45 u$ .

$2 (7 u^{2} - 45 u + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.2.2

Réécrivez $- 45$ comme $- 10$ plus $- 35$

$2 (7 u^{2} + (- 10 - 35) u + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (7 u^{2} - 10 u - 35 u + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.4.1.3.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((7 u^{2} - 10 u) - 35 u + 50) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (u (7 u - 10) - 5 (7 u - 10)) = 0$

Étape 5.4.1.3.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 u - 10$ .

$2 ((7 u - 10) (u - 5)) = 0$

Étape 5.4.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (7 u - 10) (u - 5) = 0$

Étape 5.4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 (7 x - 10) (x - 5) = 0$

Étape 5.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x - 10 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 5.4.3

Définissez $7 x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.3.1

Définissez $7 x - 10$ égal à $0$ .

$7 x - 10 = 0$

Étape 5.4.3.2

Résolvez $7 x - 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 10$

Étape 5.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 10$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 10$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{10}{7}$

Étape 5.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{10}{7}$

Étape 5.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{7}$

Étape 5.4.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 5.4.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (7 x - 10) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{10}{7}, 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 6.1.3

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{\sqrt[5]{x^{1}}}$

Étape 6.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- 18 \sqrt[5]{x^{4}} + \frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{20}{\sqrt[5]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{20}{\sqrt[5]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[5]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{x}}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{5}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{10}{7}, 5, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{10}{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(\frac{10}{7})}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{7}$ .

$\frac{126 \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.2

Associez $126$ et $\frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.4

Associez.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}} \cdot 1}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $126$ par $1$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.6

Déplacez $25$ à gauche de $7^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72}{5 {(\frac{10}{7})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72}{5 \frac{10^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.8

Associez $5$ et $\frac{10^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72}{\frac{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - (72 \frac{7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}}) - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.10

Associez $72$ et $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(\frac{10}{7})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{\frac{10^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}}$

Étape 9.1.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}} - (4 \frac{7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}})$

Étape 9.1.13

Associez $4$ et $\frac{7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.2

Pour écrire $- \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10^{\frac{5}{5}}}{10^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{10^{\frac{5}{5}}}{10^{\frac{5}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3

Pour écrire $- \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

Étape 9.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{10^{\frac{5}{5}}}{10^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.4.2

Multipliez $10^{\frac{1}{5}}$ par $10^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.2.1

Déplacez $10^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}}{5 \cdot (10^{\frac{5}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{5}})} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{5 + 1}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.4.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}} - \frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{4 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{10^{\frac{6}{5}}}$ par $\frac{5}{5}$ .

Étape 9.4.4

Réorganisez les facteurs de $10^{\frac{6}{5}} \cdot 5$ .

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}} - 4 \cdot 7^{\frac{6}{5}} \cdot 5}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{\frac{5}{5}} - 4 \cdot 7^{\frac{6}{5}} \cdot 5}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10^{1} - 4 \cdot 7^{\frac{6}{5}} \cdot 5}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.2.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 72 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 10 - 4 \cdot 7^{\frac{6}{5}} \cdot 5}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.6.2.2

Multipliez $10$ par $- 72$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 720 \cdot 7^{\frac{1}{5}} - 4 \cdot 7^{\frac{6}{5}} \cdot 5}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.6.2.3

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{126 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 720 \cdot 7^{\frac{1}{5}} - 20 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 10^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10

$x = \frac{10}{7}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{10}{7}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{10}{7}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{10}{7}$ dans l’expression.

$f (\frac{10}{7}) = {(\frac{10}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{10}{7}) - 5)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{7}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {((\frac{10}{7}) - 5)}^{2}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{10}{7} - 5 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

Étape 11.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{10}{7} + \frac{- 5 \cdot 7}{7})}^{2}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{10 - 5 \cdot 7}{7})}^{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{10 - 35}{7})}^{2}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $35$ de $10$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{- 25}{7})}^{2}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(- \frac{25}{7})}^{2}$

Étape 11.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{25}{7}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{25}{7})}^{2})$

Étape 11.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{25}{7}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{25^{2}}{7^{2}}))$

Étape 11.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.8.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot (1 (\frac{25^{2}}{7^{2}}))$

Étape 11.2.8.2

Multipliez $\frac{25^{2}}{7^{2}}$ par $1$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{25^{2}}{7^{2}}$

Étape 11.2.9

Associez.

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

Étape 11.2.10

Multipliez $7^{\frac{4}{5}}$ par $7^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

Étape 11.2.10.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Étape 11.2.10.3

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Étape 11.2.10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Étape 11.2.10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.10.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

Étape 11.2.10.5.2

Additionnez $4$ et $10$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 25^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 11.2.11

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{10^{\frac{4}{5}} \cdot 625}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 11.2.12

Déplacez $625$ à gauche de $10^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{10}{7}) = \frac{625 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 11.2.13

La réponse finale est $\frac{625 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$ .

$y = \frac{625 \cdot 10^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $5$ par ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1

Multipliez $5$ par ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 13.1.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{1} {(5)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{1 + \frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{\frac{5 + 1}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.1.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{4}{{(5)}^{\frac{6}{5}}}$

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{4}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 72 - 4}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Soustrayez $4$ de $- 72$ .

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 76}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{126 \cdot 5^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{76}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = {(5)}^{\frac{4}{5}} {((5) - 5)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (5) = 5^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

Étape 15.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (5) = 5^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

Étape 15.2.3

Multipliez $5^{\frac{4}{5}}$ par $0$ .

$f (5) = 0$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 {(0)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 \cdot 0^{1}} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{5 \cdot 0} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{72}{0} - \frac{4}{{(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 17.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 18

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 18.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{10}{7}) \cup (\frac{10}{7}, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 18.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} + \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.2.1

Pour écrire $- 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 2) = - 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2.2

Associez $- 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 18 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 5 + 14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2.3.2

Multipliez $5$ par $- 18$ .

$f' (- 2) = \frac{- 90 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} + 14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.2.2.4

La réponse finale est $\frac{- 90 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} + 14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{- 90 {(- 2)}^{\frac{4}{5}} + 14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{10}{7})$ dans la dérivée première $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 18 {(1)}^{\frac{4}{5}} + \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 18 \cdot 1 + \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2.1.2

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f' (1) = - 18 + \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 18 + \frac{14 \cdot 1}{5} + \frac{20}{{(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2.1.4

Multipliez $14$ par $1$ .

$f' (1) = - 18 + \frac{14}{5} + \frac{20}{{(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.3.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 18 + \frac{14}{5} + \frac{20}{1}$

Étape 18.3.2.1.6

Divisez $20$ par $1$ .

$f' (1) = - 18 + \frac{14}{5} + 20$

Étape 18.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.2.1

Écrivez $- 18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (1) = \frac{- 18}{1} + \frac{14}{5} + 20$

Étape 18.3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f' (1) = \frac{- 18}{1} \cdot \frac{5}{5} + \frac{14}{5} + 20$

Étape 18.3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f' (1) = \frac{- 18 \cdot 5}{5} + \frac{14}{5} + 20$

Étape 18.3.2.2.4

Écrivez $20$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (1) = \frac{- 18 \cdot 5}{5} + \frac{14}{5} + \frac{20}{1}$

Étape 18.3.2.2.5

Multipliez $\frac{20}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f' (1) = \frac{- 18 \cdot 5}{5} + \frac{14}{5} + \frac{20}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 18.3.2.2.6

Multipliez $\frac{20}{1}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f' (1) = \frac{- 18 \cdot 5}{5} + \frac{14}{5} + \frac{20 \cdot 5}{5}$

Étape 18.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{- 18 \cdot 5 + 14 + 20 \cdot 5}{5}$

Étape 18.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.3.2.4.1

Multipliez $- 18$ par $5$ .

$f' (1) = \frac{- 90 + 14 + 20 \cdot 5}{5}$

Étape 18.3.2.4.2

Multipliez $20$ par $5$ .

$f' (1) = \frac{- 90 + 14 + 100}{5}$

Étape 18.3.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.5.1

Additionnez $- 90$ et $14$ .

$f' (1) = \frac{- 76 + 100}{5}$

Étape 18.3.2.5.2

Additionnez $- 76$ et $100$ .

$f' (1) = \frac{24}{5}$

Étape 18.3.2.6

La réponse finale est $\frac{24}{5}$ .

$\frac{24}{5}$

Étape 18.4

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{10}{7}, 5)$ dans la dérivée première $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 18 {(3)}^{\frac{4}{5}} + \frac{14 {(3)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(3)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (3) = - 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}} + \frac{14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2.2

Pour écrire $- 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (3) = - 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2.3

Associez $- 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (3) = \frac{- 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{- 18 \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 5 + 14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2.4.2

Multipliez $5$ par $- 18$ .

$f' (3) = \frac{- 90 \cdot 3^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.4.2.5

La réponse finale est $\frac{- 90 \cdot 3^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{- 90 \cdot 3^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 3^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{3^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée première $- 18 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - 18 {(8)}^{\frac{4}{5}} + \frac{14 {(8)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{{(8)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (8) = - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}} + \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2.2

Pour écrire $- 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (8) = - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2.3

Associez $- 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (8) = \frac{- 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (8) = \frac{- 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 5 + 14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2.4.2

Multipliez $5$ par $- 18$ .

$f' (8) = \frac{- 90 \cdot 8^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.5.2.5

La réponse finale est $\frac{- 90 \cdot 8^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{- 90 \cdot 8^{\frac{4}{5}} + 14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{20}{8^{\frac{1}{5}}}$

Étape 18.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 18.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{10}{7}$ , $x = \frac{10}{7}$ est un maximum local.

$x = \frac{10}{7}$ est un maximum local

Étape 18.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 5$ , $x = 5$ est un minimum local.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 18.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 5)}^{2}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{10}{7}$ est un maximum local

$x = 5$ est un minimum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{10}{7}$ est un maximum local

$x = 5$ est un minimum local

Étape 19