Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{- 1} + x y - 8 y^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

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Étape 1.4.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Étape 1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Étape 1.4.3

Comme $- \frac{8}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $- x^{- 2} + y$ et $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y - x^{- 2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.1.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 + 2 x^{- 3}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{2}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{- 1} + x y - 8 \frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x^{- 2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x^{- 2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \frac{1}{y}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [\frac{- 8}{y}]$

Étape 4.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{- 2} + y + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{y}]$

Étape 4.1.4.3

Comme $- \frac{8}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x^{- 2} + y + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $- x^{- 2} + y$ et $0$ .

$- x^{- 2} + y$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y - x^{- 2}$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = y - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $y - \frac{1}{x^{2}}$ .

$y - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $y - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$y - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{2}} = - y$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - y$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - y x^{2}$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - y x^{2}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- y x^{2} = - 1$ .

$- y x^{2} = - 1$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- y x^{2} = - 1$ par $- y$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- y x^{2} = - 1$ par $- y$ .

$\frac{- y x^{2}}{- y} = \frac{- 1}{- y}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Étape 5.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{- 1}{- y}$

Étape 5.5.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- y}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{y}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{y}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.4.4.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.4.4.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 5.5.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 5.5.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 5.5.4.4.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $y$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{y}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{y}}{y}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{{(\frac{\sqrt{y}}{y})}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{2}{\frac{{\sqrt{y}}^{3}}{y^{3}}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{3}$ comme $\sqrt{y^{3}}$ .

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{3}}}{y^{3}}}$

Étape 9.1.2.2

Factorisez $y^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y^{2} y}}{y^{3}}}$

Étape 9.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y^{3}}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{3}$ .

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \sqrt{y}$ .

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y^{3}}}$

Étape 9.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{2}{\frac{y (\sqrt{y})}{y \cdot y^{2}}}$

Étape 9.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\frac{y \sqrt{y}}{y \cdot y^{2}}}$

Étape 9.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\frac{\sqrt{y}}{y^{2}}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 \frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Étape 9.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 9.4.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 9.4.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 9.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 9.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 9.4.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 9.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 9.4.6.5

Simplifiez

$2 \frac{y^{2} \sqrt{y}}{y}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} \sqrt{y}$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y}$

Étape 9.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y^{1}}$

Étape 9.5.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Étape 9.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y (y \sqrt{y})}{y \cdot 1}$

Étape 9.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{y \sqrt{y}}{1}$

Étape 9.5.2.5

Divisez $y \sqrt{y}$ par $1$ .

$2 (y \sqrt{y})$

$2 y \sqrt{y}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11