Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 1.3.9

Associez $- 6$ et $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Étape 1.3.10

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.4

Associez $\frac{9}{5}$ et $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{9}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{9}{5}$ par $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{9 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $4$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{36 x^{- \frac{1}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.2.12

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{24}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{24}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{4}{5}}$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Étape 2.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + 1 (\frac{24}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.3.16

Multipliez $\frac{24}{5}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2.3.17

Multipliez $\frac{24}{5}$ par $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Étape 2.3.18

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{36}{25 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 4.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 4.1.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 4.1.3.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - 6 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 4.1.3.9

Associez $- 6$ et $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 6 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 4.1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.1.4

Associez $\frac{9}{5}$ et $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Étape 5.2.2

Comme $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $5, 5, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{5}}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 5.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.6

Le plus petit multiple commun de $5, 5, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 5.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{5}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun pour $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ par $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{4}{5}}$ par $x^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 x^{\frac{1 + 4}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$9 x^{\frac{5}{5}} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.3.5

Divisez $5$ par $5$ .

$9 x^{1} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.4

Simplifiez $9 x^{1}$ .

$9 x - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ dans le numérateur.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$9 x + \frac{- 24}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$9 x - 24 = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$9 x - 24 = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{5}}$ .

$9 x - 24 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 24$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 24$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 24$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{24}{9}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{24}{9}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $24$ et $9$ .

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Étape 5.4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{9}$

Étape 5.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Étape 5.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Étape 5.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{8}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{9 \sqrt[5]{x^{4}}}{5} - \frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{24}{5 \sqrt[5]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$3125 x = 0^{5}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x = 0$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{8}{3}, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{8}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{36}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36}{25 \frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.2

Associez $25$ et $\frac{8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$36 \frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.4

Associez $36$ et $\frac{3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(\frac{8}{3})}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 \frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Étape 9.1.6

Associez $25$ et $\frac{8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{\frac{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}{3^{\frac{6}{5}}}}$

Étape 9.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + 24 \frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.1.8

Associez $24$ et $\frac{3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.2

Pour écrire $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{8^{\frac{5}{5}}}{8^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $8^{\frac{1}{5}}$ par $8^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.2.1

Déplacez $8^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (8^{\frac{5}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{5}})} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{5 + 1}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.3.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}} + \frac{24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{\frac{5}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8^{1} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{36 \cdot 3^{\frac{1}{5}} \cdot 8 + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 9.5.2

Multipliez $8$ par $36$ .

$\frac{288 \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 24 \cdot 3^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 8^{\frac{6}{5}}}$

Étape 10

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{8}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{\frac{9}{5}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 {(\frac{8}{3})}^{\frac{4}{5}}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - 6 \frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Étape 11.2.1.3

Associez $- 6$ et $\frac{8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} + \frac{- 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Étape 11.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{9}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{4}{5}}}$ par $\frac{3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{5}{5}}}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{4}{5}}$ par $3^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}}}$

Étape 11.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{4 + 5}{5}}}$

Étape 11.2.3.2.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}} - \frac{6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 11.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 11.2.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 11.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 6 \cdot 8^{\frac{4}{5}} \cdot 3}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 11.2.5

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$ .

$y = \frac{8^{\frac{9}{5}} - 18 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{3^{\frac{9}{5}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{36}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\frac{36}{25 {(0^{5})}^{\frac{1}{5}}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{5 (\frac{1}{5})}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{36}{25 \cdot 0^{1}} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{36}{25 \cdot 0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.4

Multipliez $25$ par $0$ .

$\frac{36}{0} + \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Étape 13.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{8}{3})$ dans la dérivée première $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{9 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{9 \cdot 1}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5 \cdot 1}$

Étape 14.3.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{9}{5} - \frac{24}{5}$

Étape 14.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 14.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{9 - 24}{5}$

Étape 14.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.2.2.2.1

Soustrayez $24$ de $9$ .

$f' (1) = \frac{- 15}{5}$

Étape 14.3.2.2.2.2

Divisez $- 15$ par $5$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{8}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{9 {(5)}^{\frac{4}{5}}}{5} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Placez ${(5)}^{\frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $5$ par $5^{- \frac{4}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.4.2.1.2.1

Multipliez $5$ par $5^{- \frac{4}{5}}$ .

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Étape 14.4.2.1.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5 \cdot 5^{- \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (5) = \frac{9}{5^{1 - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5}{5} - \frac{4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{5 - 4}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.2.4

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.3

Multipliez $5$ par ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.4.2.1.3.1

Multipliez $5$ par ${(5)}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 14.4.2.1.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5 {(5)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{1 + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Étape 14.4.2.1.3.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.2

Pour écrire $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9}{5^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $5^{\frac{6}{5}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.4.2.3.1

Multipliez $\frac{9}{5^{\frac{1}{5}}}$ par $\frac{5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{5}{5}}}$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{\frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2

Multipliez $5^{\frac{1}{5}}$ par $5^{\frac{5}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.4.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1}{5} + \frac{5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{1 + 5}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}}}{5^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5^{\frac{5}{5}} - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.2.5.1

Divisez $5$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.5.2

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot 5 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.5.3

Multipliez $9$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{45 - 24}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.5.4

Soustrayez $24$ de $45$ .

$f' (5) = \frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.4.2.6

La réponse finale est $\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{21}{5^{\frac{6}{5}}}$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{8}{3}$ , $x = \frac{8}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{\frac{9}{5}} - 6 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = \frac{8}{3}$ est un minimum local

Étape 15