Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{8}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Étape 1.6

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.7

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 3}$

Étape 2.9

Multipliez.

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Étape 2.9.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 2.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{40 x^{\frac{2}{3}}}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 4.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{8 - 3}{3}}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{8}{3} x^{\frac{5}{3}}$

Étape 4.1.6

Associez $\frac{8}{3}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x^{\frac{5}{3}} = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{\frac{5}{3}} = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.2.2

Divisez $x^{\frac{5}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{5}{3}} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x^{\frac{5}{3}} = 0$

Étape 5.3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez $0^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 5.3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 5.3.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 0^{3}$

Étape 5.3.3.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{40 {(0)}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{40 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}{9}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{40 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}{9}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{40 \cdot 0^{2}}{9}$

Étape 9.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{40 \cdot 0}{9}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Multipliez $40$ par $0$ .

$\frac{0}{9}$

Étape 9.2.2

Divisez $0$ par $9$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.2.2

La réponse finale est $\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{8 {(2)}^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{2^{3 + \frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.4

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 \cdot 3 + 5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{9 + 5}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.1.6.2

Additionnez $9$ et $5$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Étape 10.3.2.2

La réponse finale est $\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{14}{3}}}{3}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11