Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 6 - x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Étape 1.3.9

Déplacez $2$ à gauche de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Étape 1.4.1.3

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.3

Réécrivez ${(6 - x)}^{2}$ comme $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.4

Développez $(6 - x) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.5.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.7

Simplifiez

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Étape 1.4.7.1

Déplacez $36$ à gauche de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.7.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.7.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.7.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.7.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.8.1

Déplacez $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Étape 1.4.9.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Étape 1.4.9.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Étape 1.4.10

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Étape 1.4.11

Développez $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.3

Multipliez $36$ par $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.12.6.1

Déplacez $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.12.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.7

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.8

Multipliez $12$ par $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.10

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.12.10.1

Déplacez $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.10.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.4.12.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Étape 1.4.12.11

Déplacez $12$ à gauche de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Étape 1.4.13

Soustrayez $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Étape 1.4.14

Additionnez $60 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}] + \frac{d}{d x} [432 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 324 x^{2}) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 324$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 324 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 324 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 (2 x) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 324$ .

$f'' (x) = - 648 x + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [432 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $432$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $432 x$ par rapport à $x$ est $432 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $432$ par $1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.4.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x^{3}$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 (3 x^{2})$

Étape 2.5.3

Multipliez $3$ par $72$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 216 x^{2}$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 216 x^{2} - 648 x + 432$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 6 - x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Étape 4.1.3.9

Déplacez $2$ à gauche de ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

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Étape 4.1.4.1.1

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Étape 4.1.4.1.2

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.1.3

Factorisez $x {(6 - x)}^{2}$ à partir de $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez ${(6 - x)}^{2}$ comme $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.4

Développez $(6 - x) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.5.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.5.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.7

Simplifiez

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Étape 4.1.4.7.1

Déplacez $36$ à gauche de $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.7.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.7.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.7.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.7.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.8.1

Déplacez $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Étape 4.1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Étape 4.1.4.9.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Étape 4.1.4.9.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Étape 4.1.4.10

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Étape 4.1.4.11

Développez $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.3

Multipliez $36$ par $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.4

Multipliez $12$ par $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.12.6.1

Déplacez $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.12.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.7

Multipliez $- 12$ par $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.8

Multipliez $12$ par $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.10

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.12.10.1

Déplacez $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.10.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.1.4.12.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Étape 4.1.4.12.11

Déplacez $12$ à gauche de $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Étape 4.1.4.13

Soustrayez $144 x^{2}$ de $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Étape 4.1.4.14

Additionnez $60 x^{3}$ et $12 x^{3}$ .

$f' (x) = - 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 324 x^{2}$ .

$x (- 324 x) + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $432 x$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + 72 x^{3} = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $72 x^{3}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 324 x) + x \cdot 432$ .

$x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3} + 72 x^{2}) = 0$

Étape 5.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x (- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 5.2.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 432, \pm 86.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 216, \pm 43.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 144, \pm 28.8, \pm 4, \pm 0.8, \pm 108, \pm 21.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 72, \pm 14.4, \pm 8, \pm 1.6, \pm 54, \pm 10.8, \pm 9, \pm 1.8, \pm 48, \pm 9.6, \pm 12, \pm 2.4, \pm 36, \pm 7.2, \pm 16, \pm 3.2, \pm 27, \pm 5.4, \pm 18, \pm 3.6, \pm 24, \pm 4.8$

Étape 5.2.3.1.3

Remplacez $6$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $6$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.3.1.3.1

Remplacez $6$ dans le polynôme.

$- 5 \cdot 6^{3} + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- 5 \cdot 216 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $216$ .

$- 1080 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 1080 + 72 \cdot 36 - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.5

Multipliez $72$ par $36$ .

$- 1080 + 2592 - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.6

Additionnez $- 1080$ et $2592$ .

$1512 - 324 \cdot 6 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.7

Multipliez $- 324$ par $6$ .

$1512 - 1944 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.8

Soustrayez $1944$ de $1512$ .

$- 432 + 432$

Étape 5.2.3.1.3.9

Additionnez $- 432$ et $432$ .

$0$

Étape 5.2.3.1.4

Comme $6$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 6$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432}{x - 6}$

Étape 5.2.3.1.5

Divisez $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ par $x - 6$ .

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Étape 5.2.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$6$

$5 x^{3}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$432$

Étape 5.2.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$

Étape 5.2.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			-	$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{3} + 30 x^{2}$

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Étape 5.2.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $42 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Étape 5.2.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$252 x$

Étape 5.2.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $42 x^{2} - 252 x$

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$

Étape 5.2.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$

Étape 5.2.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Étape 5.2.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 72 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Étape 5.2.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							-	$72 x$	+	$432$

Étape 5.2.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 72 x + 432$

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$

Étape 5.2.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$
										$0$

Étape 5.2.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 5 x^{2} + 42 x - 72$

Étape 5.2.3.1.6

Écrivez $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez.

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Étape 5.2.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 5 \cdot - 72 = 360$ et dont la somme est $b = 42$ .

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Étape 5.2.4.1.1.1

Factorisez $42$ à partir de $42 x$ .

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 (x) - 72) = 0$

Étape 5.2.4.1.1.2

Réécrivez $42$ comme $12$ plus $30$

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + (12 + 30) x - 72) = 0$

Étape 5.2.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 12 x + 30 x - 72) = 0$

Étape 5.2.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (x - 6) ((- 5 x^{2} + 12 x) + 30 x - 72) = 0$

Étape 5.2.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x - 6) (x (- 5 x + 12) - 6 (- 5 x + 12)) = 0$

Étape 5.2.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 x + 12$ .

$x (x - 6) ((- 5 x + 12) (x - 6)) = 0$

Étape 5.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 6) (- 5 x + 12) (x - 6) = 0$

Étape 5.2.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.5.1

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Étape 5.2.5.2

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Étape 5.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x {(x - 6)}^{1 + 1} (- 5 x + 12) = 0$

Étape 5.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$- 5 x + 12 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez ${(x - 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 5.5.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5.6

Définissez $- 5 x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Définissez $- 5 x + 12$ égal à $0$ .

$- 5 x + 12 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $- 5 x + 12 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 12$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 12$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 12$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 5.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Étape 5.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 5}$

Étape 5.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{12}{5}$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(0)}^{3} + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 216 \cdot 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Étape 9.1.4

Multipliez $216$ par $0$ .

$0 + 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 648$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 432$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 432$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 432$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $432$ .

$432$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} {(6 - (0))}^{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 {(6 - (0))}^{3}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $0$ de $6$ .

$f (0) = 0 \cdot 6^{3}$

Étape 11.2.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 216$

Étape 11.2.4

Multipliez $0$ par $216$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 20 {(6)}^{3} + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- 20 \cdot 216 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 20$ par $216$ .

$- 4320 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Étape 13.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 4320 + 216 \cdot 36 - 648 \cdot 6 + 432$

Étape 13.1.4

Multipliez $216$ par $36$ .

$- 4320 + 7776 - 648 \cdot 6 + 432$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 648$ par $6$ .

$- 4320 + 7776 - 3888 + 432$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Additionnez $- 4320$ et $7776$ .

$3456 - 3888 + 432$

Étape 13.2.2

Soustrayez $3888$ de $3456$ .

$- 432 + 432$

Étape 13.2.3

Additionnez $- 432$ et $432$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{5}) \cup (\frac{12}{5}, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 324 {(- 2)}^{2} + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 324 \cdot 4 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $- 324$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2.1.3

Multipliez $432$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 \cdot 16 + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 {(- 2)}^{3}$

Étape 14.2.2.1.6

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 \cdot - 8$

Étape 14.2.2.1.7

Multipliez $72$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 - 576$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1

Soustrayez $864$ de $- 1296$ .

$f' (- 2) = - 2160 - 80 - 576$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $80$ de $- 2160$ .

$f' (- 2) = - 2240 - 576$

Étape 14.2.2.2.3

Soustrayez $576$ de $- 2240$ .

$f' (- 2) = - 2816$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $- 2816$ .

$- 2816$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{12}{5})$ dans la dérivée première $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 324 {(1)}^{2} + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 324 \cdot 1 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $- 324$ par $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2.1.3

Multipliez $432$ par $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 \cdot 1 + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 {(1)}^{3}$

Étape 14.3.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 \cdot 1$

Étape 14.3.2.1.7

Multipliez $72$ par $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.2.1

Additionnez $- 324$ et $432$ .

$f' (1) = 108 - 5 + 72$

Étape 14.3.2.2.2

Soustrayez $5$ de $108$ .

$f' (1) = 103 + 72$

Étape 14.3.2.2.3

Additionnez $103$ et $72$ .

$f' (1) = 175$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $175$ .

$175$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{12}{5}, 6)$ dans la dérivée première $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 324 {(4)}^{2} + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - 324 \cdot 16 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $- 324$ par $16$ .

$f' (4) = - 5184 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2.1.3

Multipliez $432$ par $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 \cdot 256 + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $256$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 {(4)}^{3}$

Étape 14.4.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 \cdot 64$

Étape 14.4.2.1.7

Multipliez $72$ par $64$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 4608$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.4.2.2.1

Additionnez $- 5184$ et $1728$ .

$f' (4) = - 3456 - 1280 + 4608$

Étape 14.4.2.2.2

Soustrayez $1280$ de $- 3456$ .

$f' (4) = - 4736 + 4608$

Étape 14.4.2.2.3

Additionnez $- 4736$ et $4608$ .

$f' (4) = - 128$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $- 128$ .

$- 128$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée première $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - 324 {(8)}^{2} + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - 324 \cdot 64 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2.1.2

Multipliez $- 324$ par $64$ .

$f' (8) = - 20736 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2.1.3

Multipliez $432$ par $8$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $4096$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 {(8)}^{3}$

Étape 14.5.2.1.6

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 \cdot 512$

Étape 14.5.2.1.7

Multipliez $72$ par $512$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 36864$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.5.2.2.1

Additionnez $- 20736$ et $3456$ .

$f' (8) = - 17280 - 20480 + 36864$

Étape 14.5.2.2.2

Soustrayez $20480$ de $- 17280$ .

$f' (8) = - 37760 + 36864$

Étape 14.5.2.2.3

Additionnez $- 37760$ et $36864$ .

$f' (8) = - 896$

Étape 14.5.2.3

La réponse finale est $- 896$ .

$- 896$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{12}{5}$ , $x = \frac{12}{5}$ est un maximum local.

$x = \frac{12}{5}$ est un maximum local

Étape 14.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 6$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{12}{5}$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = \frac{12}{5}$ est un maximum local

Étape 15