Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.3

Comme $110$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $110$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $1014$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1014}{x}$ par rapport à $x$ est $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Étape 1.4.4

Multipliez $- 1$ par $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $2 x - 20$ et $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Associez $- 1014$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1014$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1014}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 1014$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.4

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $2028$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $2 + \frac{2028}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.3

Comme $110$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $110$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $1014$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1014}{x}$ par rapport à $x$ est $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.2.1

Additionnez $2 x - 20$ et $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.5.2.2

Associez $- 1014$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Étape 4.1.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Étape 4.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1014}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Étape 5.4.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 1014$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

Étape 5.4.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Étape 5.4.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ .

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Étape 5.4.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

Étape 5.4.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

Étape 5.4.1.3

Factorisez.

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Étape 5.4.1.3.1

Factorisez $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.4.1.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

Étape 5.4.1.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

Étape 5.4.1.3.1.3

Remplacez $13$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $13$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.4.1.3.1.3.1

Remplacez $13$ dans le polynôme.

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Étape 5.4.1.3.1.3.2

Élevez $13$ à la puissance $3$ .

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Étape 5.4.1.3.1.3.3

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

Étape 5.4.1.3.1.3.4

Multipliez $- 10$ par $169$ .

$2197 - 1690 - 507$

Étape 5.4.1.3.1.3.5

Soustrayez $1690$ de $2197$ .

$507 - 507$

Étape 5.4.1.3.1.3.6

Soustrayez $507$ de $507$ .

$0$

Étape 5.4.1.3.1.4

Comme $13$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 13$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

Étape 5.4.1.3.1.5

Divisez $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ par $x - 13$ .

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Étape 5.4.1.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

Étape 5.4.1.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 13 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

Étape 5.4.1.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 5.4.1.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.4.1.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.4.1.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

Étape 5.4.1.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 39 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

Étape 5.4.1.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

Étape 5.4.1.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $39 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $39 x - 507$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

Étape 5.4.1.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

Étape 5.4.1.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 3 x + 39$

Étape 5.4.1.3.1.6

Écrivez $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

Étape 5.4.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

Étape 5.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Étape 5.4.3

Définissez $x - 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Définissez $x - 13$ égal à $0$ .

$x - 13 = 0$

Étape 5.4.3.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 13$

Étape 5.4.4

Définissez $x^{2} + 3 x + 39$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 39$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Étape 5.4.4.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 39$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.3

Soustrayez $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.3.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.3

Soustrayez $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4.4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.3

Soustrayez $156$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.5.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 5.4.4.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ vraie.

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1014}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 13$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 13$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Élevez $13$ à la puissance $3$ .

$\frac{2028}{2197} + 2$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun à $2028$ et $2197$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Factorisez $169$ à partir de $2028$ .

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

Étape 9.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.2.1

Factorisez $169$ à partir de $2197$ .

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Étape 9.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Étape 9.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{13} + 2$

Étape 9.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

Étape 9.3

Associez $2$ et $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Multipliez $2$ par $13$ .

$\frac{12 + 26}{13}$

Étape 9.5.2

Additionnez $12$ et $26$ .

$\frac{38}{13}$

Étape 10

$x = 13$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 13$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 13$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $13$ dans l’expression.

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

Étape 11.2.1.3

Divisez $1014$ par $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $260$ de $169$ .

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 91$ et $110$ .

$f (13) = 19 + 78$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $19$ et $78$ .

$f (13) = 97$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $97$ .

$y = 97$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ .

$(13, 97)$ est un minimum local

Étape 13