Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{k x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $e^{k x}$ par $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $k x e^{k x} + e^{k x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}] + \frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (k x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x e^{k x}$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x e^{k x}]$ .

$f'' (x) = k \frac{d}{d x} (x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{k x}$ .

$f'' (x) = k (x \frac{d}{d x} (e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $k x$ .

$f'' (x) = k (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.4

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $k$ par $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.2.8

Multipliez $e^{k x}$ par $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (k x)$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (k x)$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)$

Étape 2.3.2

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $k$ par $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} k$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k)) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Étape 2.4.2.2

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Étape 2.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = k^{1 + 1} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Étape 2.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Étape 2.4.2.5

Additionnez $k e^{k x}$ et $e^{k x} k$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Remettez dans l’ordre $e^{k x}$ et $k$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + k e^{k x}$

Étape 2.4.2.5.2

Additionnez $k e^{k x}$ et $k e^{k x}$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + 2 k e^{k x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$ .

$f'' (x) = k^{2} x e^{k x} + 2 k e^{k x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = k x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $e^{k x}$ par $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$f' (x) = k x e^{k x} + e^{k x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $k x e^{k x} + e^{k x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{k x}$ à partir de $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{k x}$ à partir de $k x e^{k x}$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{k x}$ à partir de $e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1$ .

$e^{k x} (k x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{k x} = 0$

$k x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{k x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{k x}$ égal à $0$ .

$e^{k x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{k x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{k x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Développez $\ln (e^{k x})$ en déplaçant $k x$ hors du logarithme.

$k x \ln (e) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$k x \cdot 1 = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$k x = \ln (0)$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.2.4

Divisez chaque terme dans $k x = Undefined$ par $k$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.4.1

Divisez chaque terme dans $k x = Undefined$ par $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Étape 5.4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 5.4.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Étape 5.4.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{Undefined}{k}$

Étape 5.5

Définissez $k x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $k x + 1$ égal à $0$ .

$k x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $k x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$k x = - 1$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $k x = - 1$ par $k$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $k x = - 1$ par $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{k}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{k}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{k x} (k x + 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{k}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{k}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{k}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$k^{2} (- \frac{1}{k}) e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- k^{2} \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $k$ à partir de $- k^{2}$ .

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- k e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- k e^{- k \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $k$ à partir de $- k$ .

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- k e^{- 1} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- k \frac{1}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.6

Associez $\frac{1}{e}$ et $k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Étape 9.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- k \frac{1}{k}}$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 9.1.8.1

Factorisez $k$ à partir de $- k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Étape 9.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Étape 9.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- 1}$

Étape 9.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k \frac{1}{e}$

Étape 9.1.10

Multipliez $2 k \frac{1}{e}$ .

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Étape 9.1.10.1

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + k \frac{2}{e}$

Étape 9.1.10.2

Associez $k$ et $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{k \cdot 2}{e}$

Étape 9.1.11

Déplacez $2$ à gauche de $k$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{2 k}{e}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- k + 2 k}{e}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- k$ et $2 k$ .

$\frac{k}{e}$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée première $k x e^{k x} + e^{k x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = k (0) \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Multipliez $k$ par $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $k$ par $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{k (0)}$

Étape 10.2.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{k (0)}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{k (0)}$

Étape 10.2.2.1.5

Multipliez $k$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Étape 10.2.2.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 10.3

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x e^{k x}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11