Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}} = x^{2} y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y}{x^{3}} + \frac{x}{y^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = y$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x^{3} y' - y \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} y' - y (3 x^{2})}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} y' - 3 y x^{2}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} y' - 3 y x^{2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} y'$ .

$\frac{x^{2} (x y') - 3 y x^{2}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.6.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 y x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x y') + x^{2} (- 3 y)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.6.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x y') + x^{2} (- 3 y)$ .

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x y' - 3 y)}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} \cdot 1 - x (3 y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - x (3 y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x (y^{2} y')}{{(y^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.7

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x y^{2} y'}{y^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{3} - 3 x y^{2} y'}{y^{6}}$

Étape 2.3.8

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} - 3 x y^{2} y'$ .

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Étape 2.3.8.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} y - 3 x y^{2} y'}{y^{6}}$

Étape 2.3.8.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 x y^{2} y'$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} y + y^{2} (- 3 x y')}{y^{6}}$

Étape 2.3.8.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} y + y^{2} (- 3 x y')$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{6}}$

Étape 2.3.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.9.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{6}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{2} y^{4}}$

Étape 2.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y^{2} (y - 3 x y')}{y^{2} y^{4}}$

Étape 2.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Pour écrire $\frac{x y' - 3 y}{x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Étape 2.4.1.2

Pour écrire $\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{x y' - 3 y}{x^{4}} \cdot \frac{y^{4}}{y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}$

Étape 2.4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{4} y^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1.3.1

Multipliez $\frac{x y' - 3 y}{x^{4}}$ par $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{y - 3 x y'}{y^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}$

Étape 2.4.1.3.2

Multipliez $\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$ par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{(y - 3 x y') x^{4}}{y^{4} x^{4}}$

Étape 2.4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $y^{4} x^{4}$ .

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4}}{x^{4} y^{4}} + \frac{(y - 3 x y') x^{4}}{x^{4} y^{4}}$

Étape 2.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x y' - 3 y) y^{4} + (y - 3 x y') x^{4}}{x^{4} y^{4}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x^{4} y^{4}$ .

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4} y^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y')}{x^{4} y^{4}} (x^{4} y^{4}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{4} (x y' - 3 y) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} (x y') + y^{4} (- 3 y) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{4} x y' - 3 y^{4} y + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.3

Multipliez $y^{4}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.3.1

Déplacez $y$ .

$y^{4} x y' - 3 (y \cdot y^{4}) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.3.2

Multipliez $y$ par $y^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{4} x y' - 3 (y^{1} y^{4}) + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{4} x y' - 3 y^{1 + 4} + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} (y - 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y + x^{4} (- 3 x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{4} (x y') = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.6

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 (x \cdot x^{4}) y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 5.2.1.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 (x^{1} x^{4}) y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{1 + 4} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y^{4} x y' - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Déplacez $y^{4}$ .

$x y' y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$y' x y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 x^{5} y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3.3

Déplacez $x^{5}$ .

$y' x y^{4} - 3 y^{5} + x^{4} y - 3 y' x^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3.4

Déplacez $- 3 y^{5}$ .

$y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y' x^{5} - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3.5

Déplacez $x^{4} y$ .

$y' x y^{4} - 3 y' x^{5} + x^{4} y - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.1.1.3.6

Remettez dans l’ordre $y' x y^{4}$ et $- 3 y' x^{5}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (x^{4} y^{4})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{2} y y' (x^{4} y^{4}) + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 (x^{4} x^{2}) y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{4 + 2} y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.2.1.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{2} x (x^{4} y^{4})$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Déplacez $y^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 (y^{4} y^{2}) x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{4 + 2} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y y' y^{4} + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.4.1

Multipliez $y$ par $y^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.4.1.1

Déplacez $y^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} (y^{4} y) y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.4.1.2

Multipliez $y^{4}$ par $y$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} (y^{4} y^{1}) y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{4 + 1} y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.4.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x \cdot x^{4}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.4.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} (x^{4} x)$

Étape 5.2.2.1.4.2.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} (x^{4} x^{1})$

Étape 5.2.2.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x^{4 + 1}$

Étape 5.2.2.1.4.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y^{5} y' + 2 y^{6} x^{5}$

Étape 5.2.2.1.5

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.2.1.5.1

Déplacez $y^{5}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 x^{6} y' y^{5} + 2 y^{6} x^{5}$

Étape 5.2.2.1.5.2

Déplacez $x^{6}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 y' x^{6} y^{5} + 2 y^{6} x^{5}$

Étape 5.2.2.1.5.3

Déplacez $y^{6}$ .

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} = 2 y' x^{6} y^{5} + 2 x^{5} y^{6}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $2 y' x^{6} y^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} + x^{4} y - 3 y^{5} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6}$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $x^{4} y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 3 y^{5} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $3 y^{5}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $- 3 y' x^{5} + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Factorisez $y' x$ à partir de $- 3 y' x^{5}$ .

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x y^{4}$ .

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} - 2 y' x^{6} y^{5} = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y' x$ à partir de $- 2 y' x^{6} y^{5}$ .

$y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4} + y' x (- 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (- 3 x^{4}) + y' x y^{4}$ .

$y' x (- 3 x^{4} + y^{4}) + y' x (- 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x (- 3 x^{4} + y^{4}) + y' x (- 2 x^{5} y^{5})$ .

$y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$ par $x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) = 2 x^{5} y^{6} - x^{4} y + 3 y^{5}$ par $x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})$ .

$\frac{y' x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x^{5} y^{6}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 5.3.4.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{5} y^{6}$ .

$y' = \frac{x (2 x^{4} y^{6})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (2 x^{4} y^{6})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{- x^{4} y}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 5.3.4.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4} y$ .

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{x (- x^{3} y)}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{x (- x^{3} y)}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{- x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6}}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} - \frac{x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x^{4} y^{6} - x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.2.2

Factorisez $x^{3} y$ à partir de $2 x^{4} y^{6} - x^{3} y$ .

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Étape 5.3.4.3.2.2.1

Factorisez $x^{3} y$ à partir de $2 x^{4} y^{6}$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5}) - x^{3} y}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.2.2.2

Factorisez $x^{3} y$ à partir de $- x^{3} y$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5}) + x^{3} y (- 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.2.2.3

Factorisez $x^{3} y$ à partir de $x^{3} y (2 x y^{5}) + x^{3} y (- 1)$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.3

Pour écrire $\frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.4.3.4.1

Multipliez $\frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1)}{- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x}{(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5}) x$ .

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})} + \frac{3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x + 3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x + 3 y^{5}$ .

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Étape 5.3.4.3.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y (2 x y^{5} - 1) x$ .

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + 3 y^{5}}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.1.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y^{5}$ .

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + y (3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x) + y (3 y^{4})$ .

$y' = \frac{y ((x^{3} (2 x y^{5} - 1)) x + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.3.6.2.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (x \cdot x^{3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 5.3.4.3.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (x^{1} x^{3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (x^{1 + 3} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y' = \frac{y (x^{4} (2 x y^{5} - 1) + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{y (x^{4} (2 x y^{5}) + x^{4} \cdot - 1 + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' = \frac{y (2 x^{4} (x y^{5}) + x^{4} \cdot - 1 + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{4}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{4} (x y^{5}) - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.3.6.6.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.3.6.6.1.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{y (2 (x \cdot x^{4}) y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 5.3.4.3.6.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{y (2 (x^{1} x^{4}) y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{y (2 x^{1 + 4} y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.6.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - 1 \cdot x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.6.6.2

Réécrivez $- 1 x^{4}$ comme $- x^{4}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 3 x^{4} + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.7

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4}) + y^{4} - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{4}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4}) - 1 (- y^{4}) - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4}) - 1 (- y^{4})$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4}) - 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 5.3.4.3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{5} y^{5}$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4}) - (2 x^{5} y^{5}))}$

Étape 5.3.4.3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4} - y^{4}) - (2 x^{5} y^{5})$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5}))}$

Étape 5.3.4.3.7.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.4.3.7.6.1

Réécrivez $- (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})$ comme $- 1 (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})$ .

$y' = \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (- 1 (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5}))}$

Étape 5.3.4.3.7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x^{5} y^{5} - x^{4} + 3 y^{4})}{x (3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{5} y^{5})}$