Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{x + y}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x + y} + e^{x + y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + y$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + y$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.8

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.2.9

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

Étape 2.3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $e^{x + y}$ et $e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4.2

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{x + y}$ à partir de $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{x + y}$ à partir de $x e^{x + y}$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{x + y}$ à partir de $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ .

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x + y}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x + y}$ égal à $0$ .

$e^{x + y} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x + y} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Développez $\ln (e^{x + y})$ en déplaçant $x + y$ hors du logarithme.

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2.3

Multipliez $x + y$ par $1$ .

$x + y = \ln (0)$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.4.2.4

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = Undefined - y$

Étape 5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x + y} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Réécrivez $- 1 e^{- 1 + y}$ comme $- e^{- 1 + y}$ .

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

Étape 9.2

Additionnez $- e^{- 1 + y}$ et $2 e^{- 1 + y}$ .

$e^{- 1 + y}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11