Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $0.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.3 x^{1.25}$ par rapport à $x$ est $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.2.3

Multipliez $1.25$ par $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5 x$ par rapport à $x$ est $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1.5$ par $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $88.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $88.6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $0.375 x^{0.25} - 1.5$ et $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.375 x^{0.25} - 1.5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $0.375$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.375 x^{0.25}$ par rapport à $x$ est $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Étape 2.2.3

Multipliez $0.25$ par $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Étape 2.3

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $0.09375$ et $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $0.3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.3 x^{1.25}$ par rapport à $x$ est $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $1.25$ par $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5 x$ par rapport à $x$ est $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1.5$ par $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $88.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $88.6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $0.375 x^{0.25} - 1.5$ et $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1.5$ aux deux côtés de l’équation.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $0.375 x^{0.25} = 1.5$ par $0.375$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $0.375 x^{0.25} = 1.5$ par $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $0.375$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{0.25}$ par $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $1.5$ par $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Étape 5.4

Convertissez l’exposant décimal en exposant fractionnel.

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Étape 5.4.1

Convertissez le nombre décimal en une fraction en plaçant le nombre décimal à la puissance dix. Comme il y a $2$ nombres à droite de la virgule, placez le nombre décimal sur $10^{2}$ $(100)$ . Ajoutez ensuite le nombre entier à gauche de la décimale.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Étape 5.4.2

Réduisez la fraction.

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Étape 5.4.2.1

Convertissez $0 \frac{25}{100}$ en fraction irrégulière.

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Étape 5.4.2.1.1

Un nombre mixte est une addition de ses parties entière et fractionnaire.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Étape 5.4.2.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun à $25$ et $100$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Étape 5.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Étape 5.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Étape 5.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Étape 5.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{1}{0.25}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Étape 5.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Étape 5.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $0.25$ .

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Étape 5.6.1.1.1.2.1

Factorisez $0.25$ à partir de $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.1.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.1.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.1.1.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.1.1.2

Simplifiez

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.1

Simplifiez $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Divisez $1$ par $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Étape 5.6.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$x = 256$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Transformez $0.25$ en une fraction.

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Étape 6.1.1.1

Multipliez par $\frac{100}{100}$ pour retirer la décimale.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $100$ par $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Étape 6.1.1.3

Annulez le facteur commun à $25$ et $100$ .

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Étape 6.1.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Étape 6.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Étape 6.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Étape 6.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 256$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 256$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $256$ à la puissance $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Étape 9.2

Divisez $0.09375$ par $64$ .

$0.00146484$

Étape 10

$x = 256$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 256$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 256$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $256$ dans l’expression.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $256$ à la puissance $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $0.3$ par $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1.5$ par $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $384$ de $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 76.8$ et $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $11.8$ .

$y = 11.8$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ est un minimum local

Étape 13