Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 24$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 24$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.3.5.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$\frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = x + 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + 0)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \cdot 1) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.8.2

Multipliez $x + 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + x + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x - 4 + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.8.4

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 24$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 (x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2} + 24$ à partir de ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x^{2} + 24$ à partir de ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{2} + 24$ à partir de $- 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x^{2} + 24$ à partir de $(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 24]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{2} + 24$ à partir de ${(x^{2} + 24)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{(x^{2} + 24) {(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.14.1

Multipliez $\frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + 0$

Étape 2.14.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.1

Développez $(x^{2} + 24) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 2) + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.15.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.4

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.2.5

Multipliez $24$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x + 16) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.4

Développez $(- 4 x + 16) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x (x + 6) + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.15.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.2.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.5.1.2

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.5.1.3

Multipliez $16$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.5.2

Additionnez $- 24 x$ et $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 8 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7

Simplifiez

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Étape 2.15.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.15.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.3

Soustrayez $8 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 48 x + 48 + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.2.4

Additionnez $48 x$ et $96 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48$ .

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Étape 2.15.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $144 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.4

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.3.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.7

Factorisez $- 1$ à partir de $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.9

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 \cdot - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.11

Réécrivez $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ comme $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 2.15.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}})$

Étape 2.15.14

Multipliez $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 24$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.5.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f' (x) = \frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.7

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.9

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.3.3

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 4, - 6$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4, - 6$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{({(4)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Additionnez $64$ et $48$ .

$\frac{2 (112 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $288$ de $112$ .

$\frac{2 (- 176 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.1.7

Soustrayez $24$ de $- 176$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(16 + 24)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $16$ et $24$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{40^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $40$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{64000}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $- 200$ .

$\frac{- 400}{64000}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $- 400$ et $64000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Factorisez $400$ à partir de $- 400$ .

$\frac{400 (- 1)}{64000}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $400$ à partir de $64000$ .

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{160}$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{160}$

Étape 10

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{(4) + 1}{{(4)}^{2} + 24}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (4) = \frac{5}{4^{2} + 24}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 + 24}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $16$ et $24$ .

$f (4) = \frac{5}{40}$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $5$ et $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (4) = \frac{5 (1)}{40}$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 \cdot 36 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 72$ par $- 6$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.5

Additionnez $- 216$ et $108$ .

$\frac{2 (- 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.6

Additionnez $- 108$ et $432$ .

$\frac{2 (324 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.1.7

Soustrayez $24$ de $324$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{(36 + 24)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $36$ et $24$ .

$\frac{2 \cdot 300}{60^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $60$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot 300}{216000}$

Étape 13.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Multipliez $2$ par $300$ .

$\frac{600}{216000}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun à $600$ et $216000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.2.1

Factorisez $600$ à partir de $600$ .

$\frac{600 (1)}{216000}$

Étape 13.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.2.2.1

Factorisez $600$ à partir de $216000$ .

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Étape 13.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Étape 13.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{360}$

Étape 14

$x = - 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 6$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{36 + 24}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $36$ et $24$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{60}$

Étape 15.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $60$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- 6) = \frac{5 (- 1)}{60}$

Étape 15.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Étape 15.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Étape 15.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 6) = \frac{- 1}{12}$

Étape 15.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 6) = - \frac{1}{12}$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ est un maximum local

$(- 6, - \frac{1}{12})$ est un minimum local

Étape 17