Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 5$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 1.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 1.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 1.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 1.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 1.16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17

Simplifiez

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Étape 1.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.17.3.1.1

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.17.3.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.17.3.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.2

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.5

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 1.17.3.5.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.3.5.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.4

Associez des termes.

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Étape 1.17.4.1

Multipliez $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 1.17.4.2

Associez.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.17.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.17.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.17.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.17.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 1.17.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.6

Associez $- 2$ et $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.8

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.17.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Étape 1.17.4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.5.1

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.5.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.17.5.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.3.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.3.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.5.3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.17.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.17.7

Multipliez $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Étape 1.17.7.1

Multipliez $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Étape 1.17.7.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.17.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.17.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.7.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.7.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.17.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 5) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - (x - 5) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} + (- x + 5) (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.1.1

Multipliez $- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 2.10.3.1.1.1

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.1.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.3

Multipliez $5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 2.10.3.1.3.1

Associez $5$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.2

Pour écrire $x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.3

Associez $x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.7

Soustrayez $3 x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.8.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{3}{2}} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.10.3.8.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + 15 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.8.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $15 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.8.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 15$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}} + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.8.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.8.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- x + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) + 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.10

Réécrivez $15$ comme $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x) - 1 \cdot - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.12

Réécrivez $- (x - 15)$ comme $- 1 (x - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x - 15))}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.4

Associez des termes.

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Étape 2.10.4.1

Réécrivez $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}}{2 x^{3}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{3}}$

Étape 2.10.4.2

Multipliez $\frac{1}{2 x^{3}}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{2 x^{3} \cdot 2}$

Étape 2.10.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 15)}{4 x^{3}}$

Étape 2.10.4.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.10.4.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.4.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Étape 2.10.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Étape 2.10.4.5.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 2.10.4.5.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.10.4.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.10.4.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.5.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Étape 2.10.4.5.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 4.1.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 4.1.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.1.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 4.1.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 4.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 4.1.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 4.1.16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.3.1.1

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.3.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.3.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.2

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.5

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.17.3.5.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.3.5.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.17.4.1

Multipliez $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.1.17.4.2

Associez.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.17.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.6

Associez $- 2$ et $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.8

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.17.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.17.5.1

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.5.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.5.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.3.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.3.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.5.3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.1.17.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 4.1.17.7

Multipliez $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.7.1

Multipliez $\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Étape 4.1.17.7.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 5}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 5}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.7.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 5}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.7.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.17.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 5 = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 5}{2 \sqrt{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x^{3}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{(5) - 15}{4 {(5)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Soustrayez $15$ de $5$ .

$- \frac{- 10}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$- \frac{2 (- 5)}{4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 5^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 (- 5)}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot - 5}{2 (2 \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.5

Placez $5^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Étape 9.6

Multipliez $5^{\frac{5}{2}}$ par $5^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.6.1

Déplacez $5^{- 1}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{2}})}$

Étape 9.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{2}}}$

Étape 9.6.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Étape 9.6.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Étape 9.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Étape 9.6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 5}{2}}}$

Étape 9.6.6.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.7

Multipliez $- - \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 9.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.7.2

Multipliez $\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (5) = \frac{(5) + 5}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 11.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 11.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (5) = \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{5}$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 11.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Étape 11.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5) = \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5) = \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Étape 11.2.5.2.4

Divisez $2 \sqrt{5}$ par $1$ .

$f (5) = 2 \sqrt{5}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $2 \sqrt{5}$ .

$y = 2 \sqrt{5}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x + 5}{\sqrt{x}}$ .

$(5, 2 \sqrt{5})$ est un minimum local

Étape 13