Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (e^{4 x - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = e^{4 x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{4 x - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x - 1})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{(4 x - 1) \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 1 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [e^{4 x - 1}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (e^{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $e^{4 x - 1}$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} (4 + 0)$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}} \cdot 4$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$ et $4$ .

$\frac{e^{4 x - 1} \cdot 4}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$

Étape 4.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x - 1}$ .

$\frac{4 e^{4 x - 1}}{\sqrt{1 - e^{8 x - 2}}}$