Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x + 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} + 4 x - 4)$ comme $- 1 (x^{2} + 4 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x - 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4 + 0) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3.8

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x - 4) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 (x^{2} + 4 x - 4) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) + (x^{2} + 4) (- 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4)) + (x^{2} + 4) (- 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 2 (x^{2} + 4 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Étape 2.12.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 (x^{2} + 4 x - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) + (- 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.1

Développez $(x^{2} + 4) (2 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 4) + 4 (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x + 4) - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 4 \cdot 4 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{2} x - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{1 + 2} - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 x) x - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 (x \cdot x)) - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 4 (4 x^{2}) - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 16 x^{2} - 4 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16 - 16 x^{2} + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.3

Soustrayez $16 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 16 + 16 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.3.4

Additionnez $8 x$ et $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 16$ .

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Étape 2.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 12 x^{2} + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 24 x + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.3

Factorisez $2$ à partir de $24 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 16}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.4

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x) + 2 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 6 x^{2} + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (6 x^{2}) + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (6 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2}) + 12 x + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.8

Factorisez $- 1$ à partir de $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2}) - (- 12 x) + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 6 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.10

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.12

Réécrivez $- (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)$ comme $- 1 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2.13.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 2.13.15

Multipliez $\frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 6 x^{2} - 12 x - 8)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - (x + 2) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x + 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 - 4 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.8

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} + 4 x - 4)$ comme $- 1 (x^{2} + 4 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + 4 x - 4 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 5.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 5.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 5.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Étape 5.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{2 (- 8 + 12 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.9

Multipliez $- 6 (4 \cdot 2)$ .

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Étape 9.1.2.9.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 6 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.9.2

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + {(2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.10

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{2^{3}} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{8} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.14

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{4 (2)} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.14.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 8 (2 \sqrt{2}) + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.2.16

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{2 (- 8 + 24 \sqrt{2} - 48 + 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $48$ de $- 8$ .

$\frac{2 (- 56 + 24 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Additionnez $24 \sqrt{2}$ et $16 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 {(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Réécrivez ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 ((- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.6

Développez $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.7.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 9.1.7.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.7.3

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 (12 - 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 6 \cdot 12 + 6 (- 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.9

Multipliez $6$ par $12$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 + 6 (- 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.10

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} - 12 (- 2 + 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} - 12 \cdot - 2 - 12 (2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.12

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} + 24 - 12 (2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.13

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$\frac{2 (- 56 + 40 \sqrt{2} + 72 - 48 \sqrt{2} + 24 - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.14

Additionnez $- 56$ et $72$ .

$\frac{2 (16 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} + 24 - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.15

Additionnez $16$ et $24$ .

$\frac{2 (40 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.16

Soustrayez $8$ de $40$ .

$\frac{2 (32 + 40 \sqrt{2} - 48 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.17

Soustrayez $48 \sqrt{2}$ de $40 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 8 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.1.18

Soustrayez $24 \sqrt{2}$ de $- 8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{({(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{((- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Développez $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 9.2.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8 + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(12 - 8 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $12$ et $4$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{{(16 - 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{16^{3} + 3 \cdot 16^{2} (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4

Simplifiez les termes.

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Étape 9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1.1

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 16^{2} (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 256 (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.3

Multipliez $3$ par $256$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 + 768 (- 8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.4

Multipliez $- 8$ par $768$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 3 \cdot 16 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.5

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 {(- 8 \sqrt{2})}^{2} + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.6

Appliquez la règle de produit à $- 8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 ({(- 8)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.7

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.4.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{1}) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2) + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.9

Multipliez $48 (64 \cdot 2)$ .

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Étape 9.4.1.9.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 48 \cdot 128 + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.9.2

Multipliez $48$ par $128$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(- 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 9.4.1.10

Appliquez la règle de produit à $- 8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(- 8)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 9.4.1.11

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 9.4.1.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{2^{3}}}$

Étape 9.4.1.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{8}}$

Étape 9.4.1.14

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.4.1.14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 9.4.1.14.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 9.4.1.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 512 (2 \sqrt{2})}$

Étape 9.4.1.16

Multipliez $2$ par $- 512$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{4096 - 6144 \sqrt{2} + 6144 - 1024 \sqrt{2}}$

Étape 9.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 9.4.2.1

Additionnez $4096$ et $6144$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{10240 - 6144 \sqrt{2} - 1024 \sqrt{2}}$

Étape 9.4.2.2

Soustrayez $1024 \sqrt{2}$ de $- 6144 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{10240 - 7168 \sqrt{2}}$

Étape 9.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10240$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 - 7168 \sqrt{2}}$

Étape 9.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 7168 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 2 (- 3584 \sqrt{2})}$

Étape 9.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5120) + 2 (- 3584 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 (5120 - 3584 \sqrt{2})}$

Étape 9.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 - 32 \sqrt{2})}{2 (5120 - 3584 \sqrt{2})}$

Étape 9.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{32 - 32 \sqrt{2}}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun à $32 - 32 \sqrt{2}$ et $5120 - 3584 \sqrt{2}$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $32$ à partir de $32$ .

$\frac{32 (1) - 32 \sqrt{2}}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Étape 9.6.2

Factorisez $32$ à partir de $- 32 \sqrt{2}$ .

$\frac{32 (1) + 32 (- \sqrt{2})}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Étape 9.6.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (1) + 32 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{5120 - 3584 \sqrt{2}}$

Étape 9.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.4.1

Factorisez $32$ à partir de $5120$ .

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 \cdot 160 - 3584 \sqrt{2}}$

Étape 9.6.4.2

Factorisez $32$ à partir de $- 3584 \sqrt{2}$ .

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 \cdot 160 + 32 (- 112 \sqrt{2})}$

Étape 9.6.4.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (160) + 32 (- 112 \sqrt{2})$ .

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 (160 - 112 \sqrt{2})}$

Étape 9.6.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 (1 - \sqrt{2})}{32 (160 - 112 \sqrt{2})}$

Étape 9.6.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$

Étape 9.7

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ par $\frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}} \cdot \frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$

Étape 9.8

Simplifiez les termes.

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Étape 9.8.1

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ par $\frac{160 + 112 \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{(160 - 112 \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}$

Étape 9.8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{25600 + 17920 \sqrt{2} - 17920 \sqrt{2} - 12544 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.8.3

Simplifiez

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})}{512}$

Étape 9.8.4

Annulez le facteur commun à $160 + 112 \sqrt{2}$ et $512$ .

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Étape 9.8.4.1

Factorisez $16$ à partir de $(1 - \sqrt{2}) (160 + 112 \sqrt{2})$ .

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{512}$

Étape 9.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.8.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $512$ .

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{16 (32)}$

Étape 9.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 ((1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2}))}{16 \cdot 32}$

Étape 9.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.9

Développez $(1 - \sqrt{2}) (10 + 7 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (10 + 7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (10 + 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.10.1.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10 + 1 (7 \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.10.1.2

Multipliez $7 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 10 - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.10.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - \sqrt{2} (7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.10.1.4

Multipliez $- \sqrt{2} (7 \sqrt{2})$ .

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Étape 9.10.1.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} \sqrt{2}}{32}$

Étape 9.10.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.10.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{32}$

Étape 9.10.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{32}$

Étape 9.10.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{2}}{32}$

Étape 9.10.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.10.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

Étape 9.10.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

Étape 9.10.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Étape 9.10.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.10.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Étape 9.10.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{1}}{32}$

Étape 9.10.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2}{32}$

Étape 9.10.1.6

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{10 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} - 14}{32}$

Étape 9.10.2

Soustrayez $14$ de $10$ .

$\frac{- 4 + 7 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{32}$

Étape 9.10.3

Soustrayez $10 \sqrt{2}$ de $7 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 - 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 9.11

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (4) - 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 9.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 (4) - (3 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (4 + 3 \sqrt{2})}{32}$

Étape 9.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 + 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 10

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2 + 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 + 2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{0 + 2 \sqrt{2}}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Réécrivez ${(- 2 + 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.2

Développez $(- 2 + 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 + 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 2 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 11.2.2.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 11.2.2.3.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 8 + 4}$

Étape 11.2.2.3.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{12 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4}$

Étape 11.2.2.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{12 - 8 \sqrt{2} + 4}$

Étape 11.2.2.4

Additionnez $12$ et $4$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{16 - 8 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $16 - 8 \sqrt{2}$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{16 - 8 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8 - 8 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8 + 2 (- 4 \sqrt{2})}$

Étape 11.2.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (8) + 2 (- 4 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 (8 - 4 \sqrt{2})}$

Étape 11.2.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 (8 - 4 \sqrt{2})}$

Étape 11.2.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{8 + 4 \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{(8 - 4 \sqrt{2}) (8 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 11.2.5.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{64 + 32 \sqrt{2} - 32 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 11.2.5.3

Simplifiez

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})}{32}$

Étape 11.2.5.4

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{2}$ et $32$ .

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Étape 11.2.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $\sqrt{2} (8 + 4 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{32}$

Étape 11.2.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.5.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{4 (8)}$

Étape 11.2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{4 (\sqrt{2} (2 + \sqrt{2}))}{4 \cdot 8}$

Étape 11.2.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{8}$

Étape 11.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Étape 11.2.5.6

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Étape 11.2.5.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8}$

Étape 11.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{8}$

Étape 11.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{8}$

Étape 11.2.6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{8}$

Étape 11.2.7

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} + 2$ et $8$ .

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Étape 11.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{8}$

Étape 11.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1)}{8}$

Étape 11.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{8}$

Étape 11.2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (4)}$

Étape 11.2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 4}$

Étape 11.2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + 2 \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.2

Multipliez ${(- 2)}^{2}$ par $- 2$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.2.1

Déplacez $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 (- 2 {(- 2)}^{2}) \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.2.2

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 13.1.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}) \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{1 + 2} \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{3} \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 + 3 \cdot - 8 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.4

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} + 3 \cdot - 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.7

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.9

Multipliez $- 6 (4 \cdot 2)$ .

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Étape 13.1.2.9.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 6 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.9.2

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.10

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.11

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 {\sqrt{2}}^{3} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{2^{3}} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{8} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.14

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 13.1.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{4 (2)} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.14.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 8 (2 \sqrt{2}) + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.2.16

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{2 (- 8 - 24 \sqrt{2} - 48 - 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.3

Soustrayez $48$ de $- 8$ .

$\frac{2 (- 56 - 24 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.4

Soustrayez $16 \sqrt{2}$ de $- 24 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 {(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.5

Réécrivez ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 ((- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.6

Développez $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.7.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 13.1.7.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.7.3

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 (12 + 8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 6 \cdot 12 + 6 (8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.9

Multipliez $6$ par $12$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 6 (8 \sqrt{2}) - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.10

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} - 12 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} - 12 \cdot - 2 - 12 (- 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.12

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} + 24 - 12 (- 2 \sqrt{2}) - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.13

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$\frac{2 (- 56 - 40 \sqrt{2} + 72 + 48 \sqrt{2} + 24 + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.14

Additionnez $- 56$ et $72$ .

$\frac{2 (16 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.15

Additionnez $16$ et $24$ .

$\frac{2 (40 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} - 8)}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.16

Soustrayez $8$ de $40$ .

$\frac{2 (32 - 40 \sqrt{2} + 48 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.17

Additionnez $- 40 \sqrt{2}$ et $48 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 8 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.1.18

Additionnez $8 \sqrt{2}$ et $24 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{({(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Réécrivez ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{((- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Développez $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 13.2.3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8 + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.3.3

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(12 + 8 \sqrt{2} + 4)}^{3}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $12$ et $4$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{{(16 + 8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{16^{3} + 3 \cdot 16^{2} (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4

Simplifiez les termes.

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Étape 13.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.1.1

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 16^{2} (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 3 \cdot 256 (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.3

Multipliez $3$ par $256$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 768 (8 \sqrt{2}) + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.4

Multipliez $8$ par $768$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 3 \cdot 16 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.5

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 {(8 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.6

Appliquez la règle de produit à $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (8^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.7

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {\sqrt{2}}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.4.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2^{1}) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 (64 \cdot 2) + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.9

Multipliez $48 (64 \cdot 2)$ .

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Étape 13.4.1.9.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 48 \cdot 128 + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.9.2

Multipliez $48$ par $128$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + {(8 \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 13.4.1.10

Appliquez la règle de produit à $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 13.4.1.11

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 13.4.1.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{2^{3}}}$

Étape 13.4.1.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{8}}$

Étape 13.4.1.14

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 13.4.1.14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 13.4.1.14.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 13.4.1.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 512 (2 \sqrt{2})}$

Étape 13.4.1.16

Multipliez $2$ par $512$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{4096 + 6144 \sqrt{2} + 6144 + 1024 \sqrt{2}}$

Étape 13.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 13.4.2.1

Additionnez $4096$ et $6144$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{10240 + 6144 \sqrt{2} + 1024 \sqrt{2}}$

Étape 13.4.2.2

Additionnez $6144 \sqrt{2}$ et $1024 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{10240 + 7168 \sqrt{2}}$

Étape 13.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10240$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 7168 \sqrt{2}}$

Étape 13.5.2

Factorisez $2$ à partir de $7168 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 \cdot 5120 + 2 (3584 \sqrt{2})}$

Étape 13.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5120) + 2 (3584 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 (5120 + 3584 \sqrt{2})}$

Étape 13.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (32 + 32 \sqrt{2})}{2 (5120 + 3584 \sqrt{2})}$

Étape 13.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{32 + 32 \sqrt{2}}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun à $32 + 32 \sqrt{2}$ et $5120 + 3584 \sqrt{2}$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $32$ à partir de $32$ .

$\frac{32 \cdot 1 + 32 \sqrt{2}}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Étape 13.6.2

Factorisez $32$ à partir de $32 \sqrt{2}$ .

$\frac{32 \cdot 1 + 32 (\sqrt{2})}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Étape 13.6.3

Factorisez $32$ à partir de $32 \cdot 1 + 32 (\sqrt{2})$ .

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{5120 + 3584 \sqrt{2}}$

Étape 13.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.6.4.1

Factorisez $32$ à partir de $5120$ .

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160) + 3584 \sqrt{2}}$

Étape 13.6.4.2

Factorisez $32$ à partir de $3584 \sqrt{2}$ .

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160) + 32 (112 \sqrt{2})}$

Étape 13.6.4.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (160) + 32 (112 \sqrt{2})$ .

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160 + 112 \sqrt{2})}$

Étape 13.6.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 \cdot (1 + \sqrt{2})}{32 (160 + 112 \sqrt{2})}$

Étape 13.6.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$

Étape 13.7

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ par $\frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}} \cdot \frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$

Étape 13.8

Simplifiez les termes.

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Étape 13.8.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{2}}{160 + 112 \sqrt{2}}$ par $\frac{160 - 112 \sqrt{2}}{160 - 112 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{(160 + 112 \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}$

Étape 13.8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{25600 - 17920 \sqrt{2} + 17920 \sqrt{2} - 12544 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 13.8.3

Simplifiez

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})}{512}$

Étape 13.8.4

Annulez le facteur commun à $160 - 112 \sqrt{2}$ et $512$ .

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Étape 13.8.4.1

Factorisez $16$ à partir de $(1 + \sqrt{2}) (160 - 112 \sqrt{2})$ .

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{512}$

Étape 13.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.8.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $512$ .

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{16 (32)}$

Étape 13.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 ((1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2}))}{16 \cdot 32}$

Étape 13.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.9

Développez $(1 + \sqrt{2}) (10 - 7 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (10 - 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (10 - 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.10.1.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10 + 1 (- 7 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.10.1.2

Multipliez $- 7 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 10 + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.10.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.10.1.4

Multipliez $\sqrt{2} (- 7 \sqrt{2})$ .

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Étape 13.10.1.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.10.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{32}$

Étape 13.10.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{32}$

Étape 13.10.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {\sqrt{2}}^{2}}{32}$

Étape 13.10.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.10.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

Étape 13.10.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

Étape 13.10.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Étape 13.10.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.10.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{32}$

Étape 13.10.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2^{1}}{32}$

Étape 13.10.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 7 \cdot 2}{32}$

Étape 13.10.1.6

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{10 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} - 14}{32}$

Étape 13.10.2

Soustrayez $14$ de $10$ .

$\frac{- 4 - 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{32}$

Étape 13.10.3

Additionnez $- 7 \sqrt{2}$ et $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 + 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 13.11

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (4) + 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 13.12

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 1 (4) - (- 3 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (- 3 \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (4 - 3 \sqrt{2})}{32}$

Étape 13.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 - 3 \sqrt{2}}{32}$

Étape 14

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 2 - 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 - 2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{(- 2 - 2 \sqrt{2}) + 2}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{0 - 2 \sqrt{2}}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 15.2.1.2

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $0$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{{(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2} + 4}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.1

Réécrivez ${(- 2 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.2

Développez $(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 (- 2 - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- 2 - 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 - 2 (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 15.2.2.3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2}) + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 15.2.2.3.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 8 + 4}$

Étape 15.2.2.3.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{12 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4}$

Étape 15.2.2.3.3

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{12 + 8 \sqrt{2} + 4}$

Étape 15.2.2.4

Additionnez $12$ et $4$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{16 + 8 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $16 + 8 \sqrt{2}$ .

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Étape 15.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{16 + 8 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8) + 8 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8) + 2 (4 \sqrt{2})}$

Étape 15.2.3.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (8) + 2 (4 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 15.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (8 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 15.2.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - (\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}})$

Étape 15.2.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{8 + 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{8 - 4 \sqrt{2}}{8 - 4 \sqrt{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{(8 + 4 \sqrt{2}) (8 - 4 \sqrt{2})}$

Étape 15.2.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{64 - 32 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 15.2.7

Simplifiez

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})}{32}$

Étape 15.2.8

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{2}$ et $32$ .

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Étape 15.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $\sqrt{2} (8 - 4 \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{32}$

Étape 15.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{4 (8)}$

Étape 15.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{4 (\sqrt{2} (2 - \sqrt{2}))}{4 \cdot 8}$

Étape 15.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{8}$

Étape 15.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 15.2.10

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 15.2.11

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 15.2.11.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8}$

Étape 15.2.11.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8}$

Étape 15.2.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Étape 15.2.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Étape 15.2.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.12.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Étape 15.2.12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Étape 15.2.12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 15.2.12.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.12.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 15.2.12.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{8}$

Étape 15.2.12.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{8}$

Étape 15.2.12.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{8}$

Étape 15.2.13

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $8$ .

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Étape 15.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{8}$

Étape 15.2.13.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)}{8}$

Étape 15.2.13.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{8}$

Étape 15.2.13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (4)}$

Étape 15.2.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 4}$

Étape 15.2.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - 2 \sqrt{2}) = - \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

Étape 15.2.14

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ .

$(- 2 + 2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2} + 1}{4})$ est un maximum local

$(- 2 - 2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2} - 1}{4})$ est un minimum local

Étape 17