Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - x - 2$ et $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.9

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.11

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.13

Réécrivez $- 1 {(x - 5)}^{2}$ comme $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.17

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.18

Factorisez $x - 5$ à partir de $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

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Étape 1.2.18.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.18.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.18.3

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.19.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ et $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.2.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez ${(x - 5)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Factorisez ${(x - 5)}^{2}$ à partir de ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez ${(x - 5)}^{2}$ à partir de ${(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez ${(x - 5)}^{2}$ à partir de $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.4.2.3

Factorisez ${(x - 5)}^{2}$ à partir de ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez ${(x - 5)}^{2}$ à partir de ${(x - 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.8

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.2.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.2.3

Soustrayez $27$ de $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 32$ .

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Étape 2.10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.5

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.7

Réécrivez $- (x + 16)$ comme $- 1 (x + 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 2.10.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.9

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.11

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.13

Réécrivez $- 1 {(x - 5)}^{2}$ comme $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.17

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.18

Factorisez $x - 5$ à partir de $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

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Étape 4.1.2.18.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.18.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.18.3

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.19.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 4.1.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Étape 4.1.4.3.6

Additionnez $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 9 = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 5)}^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 9$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 9$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $5$ de $- 9$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

Étape 9.2.2

Élevez $- 14$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \frac{14}{38416}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $38416$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $14$ à partir de $14$ .

$- \frac{14 (1)}{38416}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $14$ à partir de $38416$ .

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2744}$

Étape 10

$x = - 9$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 9$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 9$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1.1

Soustrayez $5$ de $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

Étape 11.2.2.1.2

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun à $7$ et $196$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

Étape 11.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $196$ .

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Étape 11.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Étape 11.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

Étape 11.2.3

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

Étape 11.2.4

Associez $9$ et $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

Étape 11.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $9$ par $28$ .

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

Étape 11.2.6.2

Additionnez $1$ et $252$ .

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $\frac{253}{28}$ .

$y = \frac{253}{28}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ .

$(- 9, \frac{253}{28})$ est un maximum local

Étape 13