Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.4.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Étape 1.10

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.4

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.9

Associez $\frac{- 2}{8}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.10

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 2.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.12

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ et $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.13

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.14

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.14.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.14.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.14.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.2.14.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{8}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{8})$

Étape 2.3.2

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \cdot (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- 2 (\frac{1}{8}) \cdot x)$

Étape 2.3.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{8}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2}{8} x)$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 2}{8}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- 2 x}{8})$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{8})$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 (4)})$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 4})$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (\frac{- x}{4})$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x}{4})$

Étape 2.3.9

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ et $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - 2 (\frac{1}{4}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2}{4} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.7

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ et $\frac{- 2}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.8

Associez $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot - 2}{4}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot (- 2 x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.10

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 2.4.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 (2)} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x)}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.12

Pour écrire $- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.2.13.1

Multipliez $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2}{4} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{8}} x \cdot 2 - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x - e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.16

Soustrayez $e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{8}} x}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{8}}]$

Étape 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{8}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- \frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.4.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.4

Associez les fractions.

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Étape 4.1.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 4.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

Étape 4.1.10

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ à partir de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ à partir de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Étape 5.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ à partir de $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4}) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{x^{2}}{4} + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\frac{x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- {(\frac{x}{2})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.4

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{x}{2})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez.

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Étape 5.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} ((1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})) = 0$

Étape 5.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

$1 + \frac{x}{2} = 0$

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{8}}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x^{2}}{8}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $1 + \frac{x}{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $1 + \frac{x}{2}$ égal à $0$ .

$1 + \frac{x}{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $1 + \frac{x}{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - 1$

Étape 5.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot - 1$

Étape 5.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 5.6

Définissez $1 - \frac{x}{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $1 - \frac{x}{2}$ égal à $0$ .

$1 - \frac{x}{2} = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $1 - \frac{x}{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Étape 5.6.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

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Étape 5.6.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.6.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Étape 5.6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x^{2}}{8}} (1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2}) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{{(- 2)}^{3} e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Placez $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.5

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (- 1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2) e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 9.1.8

Placez $e^{- \frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 2)}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Étape 9.1.9

Factorisez $2$ à partir de $3 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Étape 9.1.10

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Étape 9.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 (3 \cdot (- 1))}{2 (2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}})}$

Étape 9.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{{(- 2)}^{2}}{8}}}$

Étape 9.1.11

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Étape 9.1.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Étape 9.1.13

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Étape 9.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Étape 9.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Étape 9.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.15

Multipliez $- - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.15.2

Multipliez $\frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- {(- 2)}^{2}}{8}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Étape 11.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 11.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 11.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $- \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{{(2)}^{3} e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{16} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Placez $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2)}^{3}}{16 e^{\frac{2^{2}}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2^{3}}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 (1)}{8}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{16 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.5

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{8 (1)}{16 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $16 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 (1)}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 1}{8 (2 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2) e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}}{4}$

Étape 13.1.7

Placez $e^{- \frac{{(2)}^{2}}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (2)}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Étape 13.1.8

Factorisez $2$ à partir de $3 (2)$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{4 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Étape 13.1.9

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{\frac{2^{2}}{8}}$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Étape 13.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot 3}{2 (2 e^{\frac{2^{2}}{8}})}$

Étape 13.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{2^{2}}{8}}}$

Étape 13.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4}{8}}}$

Étape 13.1.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 (1)}{8}}}$

Étape 13.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Étape 13.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}}$

Étape 13.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (e^{\frac{1}{2}})}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = (2) \cdot e^{\frac{- {(2)}^{2}}{8}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1 \cdot 4}{8}}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 4}{8}}$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Étape 15.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 15.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 15.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = 2 \cdot e^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 15.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2.5

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (2) = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{\frac{- x^{2}}{8}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ est un minimum local

$(2, \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})$ est un maximum local

Étape 17