Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.4

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Additionnez $24 x - 6 x^{2}$ et $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 12 x + 24$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.4

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Additionnez $24 x - 6 x^{2}$ et $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Étape 4.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = - 6$ , $b = 24$ et $c = 6 y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $24$ par $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $144$ à partir de $576 + 144 y$ .

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Étape 5.4.1.3.1

Factorisez $144$ à partir de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.3.2

Factorisez $144$ à partir de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $144 (4 + y)$ comme $12^{2} (2^{2} + y)$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $24$ par $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $144$ à partir de $576 + 144 y$ .

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Étape 5.5.1.3.1

Factorisez $144$ à partir de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.3.2

Factorisez $144$ à partir de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $144 (4 + y)$ comme $12^{2} (2^{2} + y)$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $24$ par $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $144$ à partir de $576 + 144 y$ .

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Étape 5.6.1.3.1

Factorisez $144$ à partir de $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.3.2

Factorisez $144$ à partir de $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $144 (4 + y)$ comme $12^{2} (2^{2} + y)$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Étape 9.2

Associez les termes opposés dans $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $12 \sqrt{4 + y}$ de $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11