Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x^{5} - 75 x^{4} + 160 x^{3} - 120 x^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{5} - 75 x^{4} + 160 x^{3} - 120 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{5}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $12$ .

$60 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 75 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 75 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$60 x^{4} - 75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$60 x^{4} - 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 75$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [160 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $160 x^{3}$ par rapport à $x$ est $160 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 160 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 160 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $160$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 120 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 120 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $- 120$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ et $0$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{3}] + \frac{d}{d x} [480 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{4}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 60 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $60$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 300 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 300 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 300 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 300 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 300$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (480 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [480 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $480$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $480 x^{2}$ par rapport à $x$ est $480 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 480 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 480 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $480$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 960 x + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 240 x$ par rapport à $x$ est $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 960 x - 240 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 960 x - 240 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 240$ par $1$ .

$f'' (x) = 240 x^{3} - 900 x^{2} + 960 x - 240$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{5}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $12$ .

$60 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 75 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 75 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$60 x^{4} - 75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$60 x^{4} - 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 75$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + \frac{d}{d x} [160 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [160 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $160 x^{3}$ par rapport à $x$ est $160 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 160 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 160 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $3$ par $160$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $- 120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 120 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 120 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $2$ par $- 120$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x + 0$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ et $0$ .

$f' (x) = 60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{4}$ .

$60 x (x^{3}) - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $60 x$ à partir de $- 300 x^{3}$ .

$60 x (x^{3}) + 60 x (- 5 x^{2}) + 480 x^{2} - 240 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $60 x$ à partir de $480 x^{2}$ .

$60 x (x^{3}) + 60 x (- 5 x^{2}) + 60 x (8 x) - 240 x = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $60 x$ à partir de $- 240 x$ .

$60 x (x^{3}) + 60 x (- 5 x^{2}) + 60 x (8 x) + 60 x (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x (x^{3}) + 60 x (- 5 x^{2})$ .

$60 x (x^{3} - 5 x^{2}) + 60 x (8 x) + 60 x (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x (x^{3} - 5 x^{2}) + 60 x (8 x)$ .

$60 x (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x) + 60 x (- 4) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x) + 60 x (- 4)$ .

$60 x (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 5.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 8 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.2.3.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 - 5 + 8 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.2.3.5

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 4 + 8 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.2.3.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$- 4 + 8 - 4$

Étape 5.2.2.3.7

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$4 - 4$

Étape 5.2.2.3.8

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 5.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4}{x - 1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ par $x - 1$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$4$

Étape 5.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 5.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 5.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 5.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 5.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$

Étape 5.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 5.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 5.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 5.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Étape 5.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Étape 5.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 5.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$60 x ((x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$60 x ((x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$60 x ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 5.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$60 x ((x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$60 x (x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.6

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.6.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $60 x (x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 1, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 1, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$240 {(0)}^{3} - 900 {(0)}^{2} + 960 (0) - 240$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$240 \cdot 0 - 900 {(0)}^{2} + 960 (0) - 240$

Étape 9.1.2

Multipliez $240$ par $0$ .

$0 - 900 {(0)}^{2} + 960 (0) - 240$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 900 \cdot 0 + 960 (0) - 240$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 900$ par $0$ .

$0 + 0 + 960 (0) - 240$

Étape 9.1.5

Multipliez $960$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 - 240$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 - 240$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 240$

Étape 9.2.3

Soustrayez $240$ de $0$ .

$- 240$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 12 {(0)}^{5} - 75 {(0)}^{4} + 160 {(0)}^{3} - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 12 \cdot 0 - 75 {(0)}^{4} + 160 {(0)}^{3} - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 75 {(0)}^{4} + 160 {(0)}^{3} - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 75 \cdot 0 + 160 {(0)}^{3} - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 75$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 160 {(0)}^{3} - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 160 \cdot 0 - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $160$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 120 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 120 \cdot 0 + 4$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $- 120$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Étape 11.2.2.4

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (0) = 4$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$240 {(1)}^{3} - 900 {(1)}^{2} + 960 (1) - 240$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$240 \cdot 1 - 900 {(1)}^{2} + 960 (1) - 240$

Étape 13.1.2

Multipliez $240$ par $1$ .

$240 - 900 {(1)}^{2} + 960 (1) - 240$

Étape 13.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$240 - 900 \cdot 1 + 960 (1) - 240$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 900$ par $1$ .

$240 - 900 + 960 (1) - 240$

Étape 13.1.5

Multipliez $960$ par $1$ .

$240 - 900 + 960 - 240$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $900$ de $240$ .

$- 660 + 960 - 240$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 660$ et $960$ .

$300 - 240$

Étape 13.2.3

Soustrayez $240$ de $300$ .

$60$

Étape 14

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 12 {(1)}^{5} - 75 {(1)}^{4} + 160 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 12 \cdot 1 - 75 {(1)}^{4} + 160 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f (1) = 12 - 75 {(1)}^{4} + 160 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 12 - 75 \cdot 1 + 160 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 75$ par $1$ .

$f (1) = 12 - 75 + 160 {(1)}^{3} - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 12 - 75 + 160 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $160$ par $1$ .

$f (1) = 12 - 75 + 160 - 120 {(1)}^{2} + 4$

Étape 15.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 12 - 75 + 160 - 120 \cdot 1 + 4$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $- 120$ par $1$ .

$f (1) = 12 - 75 + 160 - 120 + 4$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $75$ de $12$ .

$f (1) = - 63 + 160 - 120 + 4$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 63$ et $160$ .

$f (1) = 97 - 120 + 4$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $120$ de $97$ .

$f (1) = - 23 + 4$

Étape 15.2.2.4

Additionnez $- 23$ et $4$ .

$f (1) = - 19$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 19$ .

$y = - 19$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$240 {(2)}^{3} - 900 {(2)}^{2} + 960 (2) - 240$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$240 \cdot 8 - 900 {(2)}^{2} + 960 (2) - 240$

Étape 17.1.2

Multipliez $240$ par $8$ .

$1920 - 900 {(2)}^{2} + 960 (2) - 240$

Étape 17.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1920 - 900 \cdot 4 + 960 (2) - 240$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 900$ par $4$ .

$1920 - 3600 + 960 (2) - 240$

Étape 17.1.5

Multipliez $960$ par $2$ .

$1920 - 3600 + 1920 - 240$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $3600$ de $1920$ .

$- 1680 + 1920 - 240$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 1680$ et $1920$ .

$240 - 240$

Étape 17.2.3

Soustrayez $240$ de $240$ .

$0$

Étape 18

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 18.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 18.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 60 {(- 2)}^{4} - 300 {(- 2)}^{3} + 480 {(- 2)}^{2} - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 60 \cdot 16 - 300 {(- 2)}^{3} + 480 {(- 2)}^{2} - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.2

Multipliez $60$ par $16$ .

$f' (- 2) = 960 - 300 {(- 2)}^{3} + 480 {(- 2)}^{2} - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 960 - 300 \cdot - 8 + 480 {(- 2)}^{2} - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.4

Multipliez $- 300$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 960 + 2400 + 480 {(- 2)}^{2} - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 960 + 2400 + 480 \cdot 4 - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.6

Multipliez $480$ par $4$ .

$f' (- 2) = 960 + 2400 + 1920 - 240 \cdot - 2$

Étape 18.2.2.1.7

Multipliez $- 240$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 960 + 2400 + 1920 + 480$

Étape 18.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 18.2.2.2.1

Additionnez $960$ et $2400$ .

$f' (- 2) = 3360 + 1920 + 480$

Étape 18.2.2.2.2

Additionnez $3360$ et $1920$ .

$f' (- 2) = 5280 + 480$

Étape 18.2.2.2.3

Additionnez $5280$ et $480$ .

$f' (- 2) = 5760$

Étape 18.2.2.3

La réponse finale est $5760$ .

$5760$

Étape 18.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = 60 {(0.5)}^{4} - 300 {(0.5)}^{3} + 480 {(0.5)}^{2} - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.3.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$f' (0.5) = 60 \cdot 0.0625 - 300 {(0.5)}^{3} + 480 {(0.5)}^{2} - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.0625$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 300 {(0.5)}^{3} + 480 {(0.5)}^{2} - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 300 \cdot 0.125 + 480 {(0.5)}^{2} - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.4

Multipliez $- 300$ par $0.125$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 37.5 + 480 {(0.5)}^{2} - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.5

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 37.5 + 480 \cdot 0.25 - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.6

Multipliez $480$ par $0.25$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 37.5 + 120 - 240 \cdot 0.5$

Étape 18.3.2.1.7

Multipliez $- 240$ par $0.5$ .

$f' (0.5) = 3.75 - 37.5 + 120 - 120$

Étape 18.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.2.1

Soustrayez $37.5$ de $3.75$ .

$f' (0.5) = - 33.75 + 120 - 120$

Étape 18.3.2.2.2

Additionnez $- 33.75$ et $120$ .

$f' (0.5) = 86.25 - 120$

Étape 18.3.2.2.3

Soustrayez $120$ de $86.25$ .

$f' (0.5) = - 33.75$

Étape 18.3.2.3

La réponse finale est $- 33.75$ .

$- 33.75$

Étape 18.4

Remplacez tout nombre, tel que $1.5$ , de l’intervalle $(1, 2)$ dans la dérivée première $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1.5$ dans l’expression.

$f' (1.5) = 60 {(1.5)}^{4} - 300 {(1.5)}^{3} + 480 {(1.5)}^{2} - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.2.1.1

Élevez $1.5$ à la puissance $4$ .

$f' (1.5) = 60 \cdot 5.0625 - 300 {(1.5)}^{3} + 480 {(1.5)}^{2} - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.2

Multipliez $60$ par $5.0625$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 300 {(1.5)}^{3} + 480 {(1.5)}^{2} - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.3

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 300 \cdot 3.375 + 480 {(1.5)}^{2} - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.4

Multipliez $- 300$ par $3.375$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 1012.5 + 480 {(1.5)}^{2} - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.5

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 1012.5 + 480 \cdot 2.25 - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.6

Multipliez $480$ par $2.25$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 1012.5 + 1080 - 240 \cdot 1.5$

Étape 18.4.2.1.7

Multipliez $- 240$ par $1.5$ .

$f' (1.5) = 303.75 - 1012.5 + 1080 - 360$

Étape 18.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.4.2.2.1

Soustrayez $1012.5$ de $303.75$ .

$f' (1.5) = - 708.75 + 1080 - 360$

Étape 18.4.2.2.2

Additionnez $- 708.75$ et $1080$ .

$f' (1.5) = 371.25 - 360$

Étape 18.4.2.2.3

Soustrayez $360$ de $371.25$ .

$f' (1.5) = 11.25$

Étape 18.4.2.3

La réponse finale est $11.25$ .

$11.25$

Étape 18.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $60 x^{4} - 300 x^{3} + 480 x^{2} - 240 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 60 {(4)}^{4} - 300 {(4)}^{3} + 480 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 60 \cdot 256 - 300 {(4)}^{3} + 480 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.2

Multipliez $60$ par $256$ .

$f' (4) = 15360 - 300 {(4)}^{3} + 480 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 15360 - 300 \cdot 64 + 480 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.4

Multipliez $- 300$ par $64$ .

$f' (4) = 15360 - 19200 + 480 {(4)}^{2} - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 15360 - 19200 + 480 \cdot 16 - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.6

Multipliez $480$ par $16$ .

$f' (4) = 15360 - 19200 + 7680 - 240 \cdot 4$

Étape 18.5.2.1.7

Multipliez $- 240$ par $4$ .

$f' (4) = 15360 - 19200 + 7680 - 960$

Étape 18.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.2.2.1

Soustrayez $19200$ de $15360$ .

$f' (4) = - 3840 + 7680 - 960$

Étape 18.5.2.2.2

Additionnez $- 3840$ et $7680$ .

$f' (4) = 3840 - 960$

Étape 18.5.2.2.3

Soustrayez $960$ de $3840$ .

$f' (4) = 2880$

Étape 18.5.2.3

La réponse finale est $2880$ .

$2880$

Étape 18.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 18.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 18.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 18.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 12 x^{5} - 75 x^{4} + 160 x^{3} - 120 x^{2} + 4$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 19