Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 e^{x} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 e^{x} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 4.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 u$ à partir de $12 u - 2 u^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2 u$ à partir de $12 u$ .

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (6) + 2 u (- u)$ .

$2 u (6 - u) = 0$

Étape 5.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $6 - e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $6 - e^{x}$ égal à $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $6 - e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{x} = - 6$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Étape 5.5.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Étape 5.5.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Étape 5.5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Étape 5.5.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (6)$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ vraie.

$x = \ln (6)$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \ln (6)$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \ln (6)$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Étape 9.1.3

Simplifiez $2 (\ln (6))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Étape 9.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Étape 9.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Étape 9.1.6

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$72 - 144$

Étape 9.2

Soustrayez $144$ de $72$ .

$- 72$

Étape 10

$x = \ln (6)$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \ln (6)$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \ln (6)$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (6)$ dans l’expression.

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $12$ par $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez $2 (\ln (6))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Étape 11.2.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Étape 11.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Étape 11.2.2

Soustrayez $36$ de $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $36$ .

$y = 36$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ est un maximum local

Étape 13