Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x y$ par rapport à $x$ est $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 1.4

Comme $- 5 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $10 y - 3 x^{2}$ et $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 10 y$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 10 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x y$ par rapport à $x$ est $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Étape 4.1.4

Comme $- 5 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $10 y - 3 x^{2}$ et $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $10 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 10 y$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 10 y$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{30 y}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11