Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 - 3 x - \frac{12}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - 3 x - \frac{12}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

Étape 1.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12}{x}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - 3 - 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 - 3 - 12 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 3 - 12 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$0 - 3 + 12 x^{- 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 + 12 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3 + 12 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 3 + \frac{12}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{x^{2}} - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{12}{x^{2}} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 12 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 12 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 12 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 12 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$f'' (x) = - 24 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 24 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 24 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 24}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{24}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{12}{x^{2}} - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - 3 x - \frac{12}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x})$

Étape 4.1.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - 3 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12}{x}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 - 3 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 3 - 12 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 3 - 12 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$f' (x) = 0 - 3 + 12 x^{- 2}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 3 + 12 (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (x) = - 3 + 12 (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = - 3 + \frac{12}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{12}{x^{2}} - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{x^{2}} - 3$ .

$\frac{12}{x^{2}} - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{12}{x^{2}} - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{12}{x^{2}} - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{12}{x^{2}} = 3$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{12}{x^{2}} = 3$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12}{x^{2}} = 3$ par $x^{2}$ .

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} = 3 x^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} = 3 x^{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$12 = 3 x^{2}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{2} = 12$ .

$3 x^{2} = 12$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x^{2} = 4$

Étape 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2, - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{24}{{(2)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{24}{8}$

Étape 9.2

Divisez $24$ par $8$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$

Étape 10

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 10 - 3 \cdot 2 - \frac{12}{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (2) = 10 - 6 - \frac{12}{2}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $12$ par $2$ .

$f (2) = 10 - 6 - 1 \cdot 6$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (2) = 10 - 6 - 6$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $6$ de $10$ .

$f (2) = 4 - 6$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$f (2) = - 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{24}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{24}{- 8}$

Étape 13.2

Divisez $24$ par $- 8$ .

$- - 3$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3$

Étape 14

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 10 - 3 \cdot - 2 - \frac{12}{- 2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 10 + 6 - \frac{12}{- 2}$

Étape 15.2.1.2

Divisez $12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 10 + 6 + 6$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f (- 2) = 10 + 6 + 6$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $10$ et $6$ .

$f (- 2) = 16 + 6$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$f (- 2) = 22$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $22$ .

$y = 22$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 10 - 3 x - \frac{12}{x}$ .

$(2, - 2)$ est un maximum local

$(- 2, 22)$ est un minimum local

Étape 17