Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 100 - \frac{225}{x + 5} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - \frac{225}{x + 5} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{225}{x + 5}$ par rapport à $x$ est $- 225 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$0 - 225 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$0 - 225 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$0 - 225 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 225 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 225$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - 1$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 225 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $225$ et $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$0 + \frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $225 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 225 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ comme ${({(x + 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 225 \frac{d}{d x} ({({(x + 5)}^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = 225 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 225 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 5$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 5))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 5))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 5$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} (x + 5))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (5)))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 225 (- {({(x + 5)}^{2})}^{- 2} (2 (x + 5) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.8

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 225 (- {(x + 5)}^{2 \cdot - 2} (2 (x + 5) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 225 (- {(x + 5)}^{- 4} (2 (x + 5) (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 225 (- {(x + 5)}^{- 4} (2 (x + 5) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 225 (- {(x + 5)}^{- 4} (2 (x + 5))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 225 (- 2 {(x + 5)}^{- 4} (x + 5)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.12

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 225 (- 2 ((x + 5) {(x + 5)}^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 225 (- 2 {(x + 5)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.14

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 225 (- 2 {(x + 5)}^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 2$ par $225$ .

$f'' (x) = - 450 {(x + 5)}^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 450 {(x + 5)}^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 450 \frac{1}{{(x + 5)}^{3}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 450$ et $\frac{1}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 450}{{(x + 5)}^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{450}{{(x + 5)}^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{450}{{(x + 5)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{450}{{(x + 5)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - \frac{225}{x + 5} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.1.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{225}{x + 5}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{225}{x + 5}$ par rapport à $x$ est $- 225 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$0 - 225 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$0 - 225 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$0 - 225 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 225 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 225 (- {(x + 5)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 225$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 225 {(x + 5)}^{- 2} - 1$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 225 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Associez $225$ et $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$0 + \frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 4.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$ .

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} = 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x + 5)}^{2}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x + 5)}^{2}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} = 1$ par ${(x + 5)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} = 1$ par ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} {(x + 5)}^{2} = 1 {(x + 5)}^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{225}{{(x + 5)}^{2}} {(x + 5)}^{2} = 1 {(x + 5)}^{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$225 = 1 {(x + 5)}^{2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez ${(x + 5)}^{2}$ par $1$ .

$225 = {(x + 5)}^{2}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme ${(x + 5)}^{2} = 225$ .

${(x + 5)}^{2} = 225$

Étape 5.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x + 5 = \pm \sqrt{225}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{225}$ .

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Étape 5.5.3.1

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$x + 5 = \pm \sqrt{15^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + 5 = \pm 15$

Étape 5.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + 5 = 15$

Étape 5.5.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.5.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = 15 - 5$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $5$ de $15$ .

$x = 10$

Étape 5.5.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + 5 = - 15$

Étape 5.5.4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.5.4.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 15 - 5$

Étape 5.5.4.4.2

Soustrayez $5$ de $- 15$ .

$x = - 20$

Étape 5.5.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10, - 20$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{225}{{(x + 5)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 10, - 20$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{450}{{((10) + 5)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Additionnez $10$ et $5$ .

$- \frac{450}{15^{3}}$

Étape 9.1.2

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$- \frac{450}{3375}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $450$ et $3375$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $225$ à partir de $450$ .

$- \frac{225 (2)}{3375}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Factorisez $225$ à partir de $3375$ .

$- \frac{225 \cdot 2}{225 \cdot 15}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{225 \cdot 2}{225 \cdot 15}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{15}$

Étape 10

$x = 10$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 10$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 10$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = 100 - \frac{225}{(10) + 5} - (10)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun à $225$ et $(10) + 5$ .

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Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $225$ .

$f (10) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{10 + 5} - (10)$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (10) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 (2) + 5} - (10)$

Étape 11.2.1.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (10) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot 2 + 5 \cdot 1} - (10)$

Étape 11.2.1.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 2 + 5 \cdot 1$ .

$f (10) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot (2 + 1)} - (10)$

Étape 11.2.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (10) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot (2 + 1)} - (10)$

Étape 11.2.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (10) = 100 - \frac{45}{2 + 1} - (10)$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (10) = 100 - \frac{45}{3} - (10)$

Étape 11.2.1.3

Divisez $45$ par $3$ .

$f (10) = 100 - 1 \cdot 15 - (10)$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f (10) = 100 - 15 - (10)$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (10) = 100 - 15 - 10$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $15$ de $100$ .

$f (10) = 85 - 10$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $10$ de $85$ .

$f (10) = 75$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $75$ .

$y = 75$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 20$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{450}{{((- 20) + 5)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1

Additionnez $- 20$ et $5$ .

$- \frac{450}{{(- 15)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 15$ à la puissance $3$ .

$- \frac{450}{- 3375}$

Étape 13.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun à $450$ et $- 3375$ .

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Étape 13.2.1.1

Factorisez $225$ à partir de $450$ .

$- \frac{225 (2)}{- 3375}$

Étape 13.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.1.2.1

Factorisez $225$ à partir de $- 3375$ .

$- \frac{225 \cdot 2}{225 \cdot - 15}$

Étape 13.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{225 \cdot 2}{225 \cdot - 15}$

Étape 13.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{- 15}$

Étape 13.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2}{15}$

Étape 13.3

Multipliez $- - \frac{2}{15}$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{2}{15})$

Étape 13.3.2

Multipliez $\frac{2}{15}$ par $1$ .

$\frac{2}{15}$

Étape 14

$x = - 20$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 20$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 20$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 20$ dans l’expression.

$f (- 20) = 100 - \frac{225}{(- 20) + 5} - (- 20)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun à $225$ et $(- 20) + 5$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $225$ .

$f (- 20) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{- 20 + 5} - (- 20)$

Étape 15.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$f (- 20) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 (- 4) + 5} - (- 20)$

Étape 15.2.1.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (- 20) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot - 4 + 5 \cdot 1} - (- 20)$

Étape 15.2.1.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot - 4 + 5 \cdot 1$ .

$f (- 20) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot (- 4 + 1)} - (- 20)$

Étape 15.2.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 20) = 100 - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot (- 4 + 1)} - (- 20)$

Étape 15.2.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 20) = 100 - \frac{45}{- 4 + 1} - (- 20)$

Étape 15.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (- 20) = 100 - \frac{45}{- 3} - (- 20)$

Étape 15.2.1.3

Divisez $45$ par $- 3$ .

$f (- 20) = 100 + 15 - (- 20)$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

$f (- 20) = 100 + 15 - (- 20)$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$f (- 20) = 100 + 15 + 20$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $100$ et $15$ .

$f (- 20) = 115 + 20$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $115$ et $20$ .

$f (- 20) = 135$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $135$ .

$y = 135$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 100 - \frac{225}{x + 5} - x$ .

$(10, 75)$ est un maximum local

$(- 20, 135)$ est un minimum local

Étape 17