Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Étape 1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 1.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Étape 1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Étape 1.7

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.8.3

Associez des termes.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $100$ par $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.8.3.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Étape 1.8.3.3

Associez $100$ et $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Étape 1.8.3.4

Multipliez $100$ par $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Étape 1.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{800}{x^{3}} + 100$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{800}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $800$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{800}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 800 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 3$ par $800$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (100)$

Étape 2.3

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2400 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 2400$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2400}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{2400}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Étape 4.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 4.1.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.5.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Étape 4.1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Étape 4.1.8

Simplifiez

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Étape 4.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.8.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.8.3.1

Multipliez $100$ par $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.8.3.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Étape 4.1.8.3.3

Associez $100$ et $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Étape 4.1.8.3.4

Multipliez $100$ par $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Étape 4.1.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 100$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{800}{x^{3}} + 100$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{800}{x^{3}} = - 100$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ par $x^{3}$ .

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$800 = - 100 x^{3}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 100 x^{3} = 800$ .

$- 100 x^{3} = 800$

Étape 5.5.2

Soustrayez $800$ des deux côtés de l’équation.

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 100$ à partir de $- 100 x^{3} - 800$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Factorisez $- 100$ à partir de $- 100 x^{3}$ .

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Étape 5.5.3.1.2

Factorisez $- 100$ à partir de $- 800$ .

$- 100 x^{3} - 100 \cdot 8 = 0$

Étape 5.5.3.1.3

Factorisez $- 100$ à partir de $- 100 (x^{3}) - 100 (8)$ .

$- 100 (x^{3} + 8) = 0$

Étape 5.5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- 100 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Étape 5.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 5.5.3.4

Factorisez.

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Étape 5.5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 5.5.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 5.5.3.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Étape 5.5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Étape 5.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 5.5.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.5.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.5.6

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.6.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 5.5.6.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 5.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.6.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 5.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.6.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 5.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{800}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2400}{{(- 2)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2400}{16}$

Étape 9.2

Divisez $2400$ par $16$ .

$- 1 \cdot 150$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $150$ .

$- 150$

Étape 10

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 100 ((- 2) - \frac{4}{{(- 2)}^{2}})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Étape 11.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1)$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = 100 \cdot - 3$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $100$ par $- 3$ .

$f (- 2) = - 300$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 300$ .

$y = - 300$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ .

$(- 2, - 300)$ est un maximum local

Étape 13