Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 10 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$10 - 10 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$10 + 10 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 + 10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \cos (x)$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $10 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 10 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 + 10 \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$10 \sin (x) = - 10$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $10 \sin (x) = - 10$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $10 \sin (x) = - 10$ par $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 10}{10}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 10$ par $10$ .

$\sin (x) = - 1$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 8

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$10 \cos (- \frac{π}{2})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$10 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 12.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$10 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 12.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$10 \cdot 0$

Étape 12.4

Multipliez $10$ par $0$ .

$0$

Étape 13

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 13.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Étape 13.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $10 + 10 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 13.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 10 + 10 \sin (- 4)$

Étape 13.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.2.1.1

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10 + 10 \cdot 0.75680249$

Étape 13.2.2.1.2

Multipliez $10$ par $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 10 + 7.56802495$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $10$ et $7.56802495$ .

$f' (- 4) = 17.56802495$

Étape 13.2.2.3

La réponse finale est $17.56802495$ .

$17.56802495$

Étape 13.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ dans la dérivée première $10 + 10 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 13.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 10 + 10 \sin (0)$

Étape 13.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = 10 + 10 \cdot 0$

Étape 13.3.2.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$f' (0) = 10 + 0$

Étape 13.3.2.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$f' (0) = 10$

Étape 13.3.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 13.4

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dans la dérivée première $10 + 10 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 13.4.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = 10 + 10 \sin (7)$

Étape 13.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.2.1.1

Évaluez $\sin (7)$ .

$f' (7) = 10 + 10 \cdot 0.65698659$

Étape 13.4.2.1.2

Multipliez $10$ par $0.65698659$ .

$f' (7) = 10 + 6.56986598$

Étape 13.4.2.2

Additionnez $10$ et $6.56986598$ .

$f' (7) = 16.56986598$

Étape 13.4.2.3

La réponse finale est $16.56986598$ .

$16.56986598$

Étape 13.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = - \frac{π}{2}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 13.6

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 10 x - 10 \cos (x)$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 14