Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x - 20 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Étape 1.3.3

Associez $- 20$ et $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Étape 1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - \frac{20}{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{20}{x} + 12$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{20}{x} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20}{x}) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20}{x}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 20 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{- 2} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Associez $20$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{20}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x - 20 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$12 - 20 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$12 - 20 \frac{1}{x}$

Étape 4.1.3.3

Associez $- 20$ et $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{- 20}{x}$

Étape 4.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - \frac{20}{x}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{20}{x} + 12$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{20}{x} + 12$ .

$- \frac{20}{x} + 12$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{20}{x} + 12 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{20}{x} + 12 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{20}{x} = - 12$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{20}{x} = - 12$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{20}{x} = - 12$ par $x$ .

$- \frac{20}{x} x = - 12 x$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{20}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 20}{x} x = - 12 x$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 20 = - 12 x$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 x = - 20$ .

$- 12 x = - 20$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 12 x = - 20$ par $- 12$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 x = - 20$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{- 20}{- 12}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 12}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $- 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 20$ .

$x = \frac{- 4 (5)}{- 12}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Étape 5.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{20}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{5}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{20}{{(\frac{5}{3})}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$\frac{20}{\frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Étape 9.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{3^{2}}}$

Étape 9.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{20}{\frac{25}{9}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$20 (\frac{9}{25})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$5 (4) \frac{9}{25}$

Étape 9.3.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 4 \frac{9}{5 \cdot 5}$

Étape 9.3.4

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{9}{5})$

Étape 9.4

Associez $4$ et $\frac{9}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 9}{5}$

Étape 9.5

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{36}{5}$

Étape 10

$x = \frac{5}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{3}) = 12 (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5}{3}) = 3 (4) (\frac{5}{3}) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{5}{3})) - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Étape 11.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3}) = 4 \cdot 5 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - 20 \ln (\frac{5}{3})$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez $- 20 \ln (\frac{5}{3})$ en déplaçant $20$ dans le logarithme.

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln ({(\frac{5}{3})}^{20})$

Étape 11.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{5^{20}}{3^{20}})$

Étape 11.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3^{20}})$

Étape 11.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $20$ .

$f (\frac{5}{3}) = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$ .

$y = 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401})$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 12 x - 20 \ln (x)$ .

$(\frac{5}{3}, 20 - \ln (\frac{95367431640625}{3486784401}))$ est un minimum local

Étape 13