Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$18 ((x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.8.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.12.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 1.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 1.15

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Étape 1.16.2

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.17

Simplifiez

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Étape 1.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2

Associez des termes.

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Étape 1.17.2.1

Associez $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2.3

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.17.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x - 5) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.17.4.1

Multipliez $x - 5$ par $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.4.2

Déplacez $12$ à gauche de $x - 5$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.17.5

Pour écrire $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.7.1

Factorisez $6$ à partir de $12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.17.7.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 (x - 5)$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 5) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.4

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.17.7.4.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.4.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.5

Simplifiez $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.8

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 10 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.17.7.9

Soustrayez $3$ de $- 10$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 13}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 13}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 13$ et $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 13) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 13)) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.6

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.3.7.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.9.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.13.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.13.3

Associez $6$ et $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14

Simplifiez

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Étape 2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 2.14.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 (- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 13) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 13$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 13) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.3

Multipliez $- 5 x + 13$ par $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.4

Pour écrire $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.5

Associez $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8

Réécrivez $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.14.3.8.1

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.3.8.1.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.2

Simplifiez $3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.5

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.6

Soustrayez $5 x$ de $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 13}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.7

Additionnez $- 15$ et $13$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.8

Factorisez $2$ à partir de $10 x - 2$ .

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Étape 2.14.3.8.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3.8.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4

Associez des termes.

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Étape 2.14.4.1

Associez $6$ et $\frac{2 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 1)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.3

Factorisez $3$ à partir de $12 (5 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 1))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.5

Réécrivez $\frac{\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.6

Multipliez $\frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.7

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.4.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.4.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 2.14.4.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4.1.2

$18 ((x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

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Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 5) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.12.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Étape 4.1.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 4.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 4.1.15

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Étape 4.1.16

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Étape 4.1.16.2

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 ((x - 5) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.2.1

Associez $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2.3

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x - 5) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.4.1

Multipliez $x - 5$ par $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.4.2

Déplacez $12$ à gauche de $x - 5$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.17.5

Pour écrire $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 5)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.7.1

Factorisez $6$ à partir de $12 (x - 5) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.7.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 (x - 5)$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 (x - 5)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 5) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.4

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.17.7.4.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.4.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.5

Simplifiez $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 10 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.8

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 10 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.17.7.9

Soustrayez $3$ de $- 10$ .

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 (5 x - 13) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $6 (5 x - 13) = 0$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (5 x - 13) = 0$ par $6$ .

$\frac{6 (5 x - 13)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (5 x - 13)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $5 x - 13$ par $1$ .

$5 x - 13 = \frac{0}{6}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$5 x - 13 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 13$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $5 x = 13$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 13$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{13}{5}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{13}{5}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{13}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 (5 x - 13)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x - 1 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{13}{5}, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{13}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (5 (\frac{13}{5}) - 1)}{{((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 (\frac{13}{5}) - 1)}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (13 - 1)}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $1$ de $13$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{13 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.4.2

Soustrayez $5$ de $13$ .

$\frac{4 \cdot 12}{{(\frac{8}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{8^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{3 (\frac{4}{3})}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.2.6.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{3 (\frac{4}{3})}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.2.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{2^{4}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.2.6.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{\frac{16}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.3

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{48}{\frac{16}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$48 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$16 (3) \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot 3 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{16}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 5^{\frac{4}{3}}$

Étape 10

$x = \frac{13}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{13}{5}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{13}{5}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{13}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{13}{5}) = 18 ((\frac{13}{5}) - 5) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}) {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13 - 5 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{13 - 25}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.4.2

Soustrayez $25$ de $13$ .

$f (\frac{13}{5}) = 18 (\frac{- 12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{13}{5}) = 18 (- \frac{12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.6

Multipliez $18 (- \frac{12}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$f (\frac{13}{5}) = - 18 (\frac{12}{5}) \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.6.2

Associez $- 18$ et $\frac{12}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = \frac{- 18 \cdot 12}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.6.3

Multipliez $- 18$ par $12$ .

$f (\frac{13}{5}) = \frac{- 216}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {((\frac{13}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{13 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.11.2

Soustrayez $5$ de $13$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot {(\frac{8}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 11.2.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.13.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.13.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.13.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.13.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{2^{2}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.13.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{216}{5} \cdot \frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.14

Multipliez $- \frac{216}{5} \cdot \frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 11.2.14.1

Multipliez $\frac{4}{5^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{216}{5}$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{4 \cdot 216}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Étape 11.2.14.3

Multipliez $5^{\frac{2}{3}}$ par $5$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.14.3.1

Multipliez $5^{\frac{2}{3}}$ par $5$ .

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Étape 11.2.14.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Étape 11.2.14.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Étape 11.2.14.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Étape 11.2.14.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Étape 11.2.14.3.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (\frac{13}{5}) = - \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11.2.15

La réponse finale est $- \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{864}{5^{\frac{5}{3}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 13.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0^{4}}$

Étape 13.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (5 (1) - 1)}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{13}{5}) \cup (\frac{13}{5}, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 13)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (0 - 13)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.1.2

Soustrayez $13$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 14.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 14.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{- 1}$

Étape 14.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 13}{- 1}$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.2.3.1

Multipliez $6$ par $- 13$ .

$f' (0) = \frac{- 78}{- 1}$

Étape 14.2.2.3.2

Divisez $- 78$ par $- 1$ .

$f' (0) = 78$

Étape 14.2.2.4

La réponse finale est $78$ .

$78$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(1, \frac{13}{5})$ dans la dérivée première $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{6 (5 (2) - 13)}{{((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.2.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (10 - 13)}{{(2 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.1.2

Soustrayez $13$ de $10$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{{(2 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{1^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (2) = \frac{6 \cdot - 3}{1}$

Étape 14.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.2.3.1

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f' (2) = \frac{- 18}{1}$

Étape 14.3.2.3.2

Divisez $- 18$ par $1$ .

$f' (2) = - 18$

Étape 14.3.2.4

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{13}{5}, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{6 (5 x - 13)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{6 (5 (5) - 13)}{{((5) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{6 (25 - 13)}{{(5 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.1.2

Soustrayez $13$ de $25$ .

$f' (5) = \frac{6 \cdot 12}{{(5 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{6 \cdot 12}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.2.2

Multipliez $6$ par $12$ .

$f' (5) = \frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $\frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{72}{4^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un maximum local.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{13}{5}$ , $x = \frac{13}{5}$ est un minimum local.

$x = \frac{13}{5}$ est un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 18 (x - 5) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 1$ est un maximum local

$x = \frac{13}{5}$ est un minimum local

$x = 1$ est un maximum local

$x = \frac{13}{5}$ est un minimum local

Étape 15