Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $188$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ par rapport à $x$ est $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 1.3.3

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 1.3.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 1.3.7

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Étape 1.3.9

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 188$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ par rapport à $x$ est $- 188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})]$ .

$f'' (x) = - 188 \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ et $g (x) = - 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 200 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (- 200 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.2

Comme $- 200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 200 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 200 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 2$ par $- 200$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{15})) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{15}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3} + 0) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $400 x^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (400 x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $400$ à gauche de ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 \cdot ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) \frac{d}{d x} ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} \frac{d}{d x} (\frac{200}{x} + \frac{x}{15})))$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (\frac{d}{d x} (\frac{200}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Étape 2.5.2

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{x}{15}))))$

Étape 2.5.6

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot \frac{d}{d x} (x))))$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)))$

Étape 2.5.8

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Étape 2.6

Élevez $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Étape 2.7

Élevez $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} ((- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})))$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{1 + 1})$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} - 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 188 (400 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $400$ par $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3}) - 188 (- 2 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2})$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 188$ .

$f'' (x) = - 75200 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} x^{- 3} + 376 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3} {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2}$

Étape 2.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 75200 x^{- 3} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 75200 \frac{1}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.2

Associez $- 75200$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.4.5.1

Pour écrire $\frac{200}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.2

Pour écrire $\frac{x}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.4.5.3.1

Multipliez $\frac{200}{x}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.3.2

Multipliez $\frac{x}{15}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 15$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.5.5.1

Multipliez $200$ par $15$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.7

Appliquez la règle de produit à $15 x$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.5.8

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot (1 (\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}})) + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.7

Multipliez $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.8

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.10.4.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{75200}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{3}} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.8.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.8.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $225 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.8.4

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x^{2} x} \cdot \frac{x^{2} \cdot 225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.8.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 75200}{x} \cdot \frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.9

Multipliez $\frac{- 75200}{x}$ par $\frac{225}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 75200 \cdot 225}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.10

Multipliez $- 75200$ par $225$ .

$f'' (x) = \frac{- 16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.12.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.12.2

Associez $- 200$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.12.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 {(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2} {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.13

Réécrivez ${(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})}^{2}$ comme $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 ((- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.14

Développez $(- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.4.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (- \frac{200}{x^{2}} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.4.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.15.1.1

Multipliez $- \frac{200}{x^{2}} (- \frac{200}{x^{2}})$ .

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Étape 2.10.4.15.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (1 (\frac{200}{x^{2}}) \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.1.2

Multipliez $\frac{200}{x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{200}{x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.1.3

Multipliez $\frac{200}{x^{2}}$ par $\frac{200}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{200 \cdot 200}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.1.4

Multipliez $200$ par $200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2} x^{2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.4.15.1.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{2 + 2}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.10.4.15.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{200}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 200}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 (- 40)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.2.4

Annulez le facteur commun.

Étape 2.10.4.15.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.3

Multipliez $\frac{- 40}{x^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{x^{2} \cdot 3} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 \cdot x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot (- \frac{200}{x^{2}}) + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.10.4.15.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{200}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 (3)} \cdot \frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.6.3

Factorisez $5$ à partir de $- 200$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot \frac{5 \cdot - 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.6.4

Annulez le facteur commun.

Étape 2.10.4.15.1.6.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 40}{x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{- 40}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{- 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.9

Multipliez $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{15}$ .

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Étape 2.10.4.15.1.9.1

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{1}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{15 \cdot 15}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.1.9.2

Multipliez $15$ par $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{40}{3 x^{2}} - \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.15.2

Soustrayez $\frac{40}{3 x^{2}}$ de $- \frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - 2 \frac{40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.16.1

Multipliez $- 2 \frac{40}{3 x^{2}}$ .

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Étape 2.10.4.16.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{40}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 2 \cdot 40}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.16.1.2

Multipliez $- 2$ par $40$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} + \frac{- 80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.16.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + 376 (\frac{40000}{x^{4}} - \frac{80}{3 x^{2}} + \frac{1}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.17

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (376 (\frac{40000}{x^{4}}) + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18

Simplifiez

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Étape 2.10.4.18.1

Multipliez $376 \frac{40000}{x^{4}}$ .

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Étape 2.10.4.18.1.1

Associez $376$ et $\frac{40000}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{376 \cdot 40000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18.1.2

Multipliez $376$ par $40000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + 376 (- \frac{80}{3 x^{2}}) + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18.2

Multipliez $376 (- \frac{80}{3 x^{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.18.2.1

Multipliez $- 1$ par $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - 376 \frac{80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18.2.2

Associez $- 376$ et $\frac{80}{3 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 376 \cdot 80}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18.2.3

Multipliez $- 376$ par $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + 376 (\frac{1}{225})) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.18.3

Associez $376$ et $\frac{1}{225}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} + \frac{- 30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 3}$

Étape 2.10.4.20

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.4.21.1

Pour écrire $\frac{200}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.2

Pour écrire $\frac{x}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.4.21.3.1

Multipliez $\frac{200}{x}$ par $\frac{15}{15}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.3.2

Multipliez $\frac{x}{15}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.21.5.1

Multipliez $200$ par $15$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{3}})$

Étape 2.10.4.21.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{{(15 x)}^{3}}})$

Étape 2.10.4.21.7

Appliquez la règle de produit à $15 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{15^{3} x^{3}}})$

Étape 2.10.4.21.8

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{3}}{3375 x^{3}}})$

Étape 2.10.4.22

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (1 (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}))$

Étape 2.10.4.23

Multipliez $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + (\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}})$

Étape 2.10.4.24

Multipliez $\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}$ par $\frac{3375 x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{15040000}{x^{4}} - \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{376}{225}) (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.25.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.2

Pour écrire $- \frac{30080}{3 x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.3

Pour écrire $\frac{15040000}{x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080}{3 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.4.25.4.1

Multipliez $\frac{30080}{3 x^{2}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2} x^{2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.4.25.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 (x^{2} x^{2})} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{2 + 2}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000}{x^{4}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4.3

Multipliez $\frac{15040000}{x^{4}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{x^{4} \cdot 3} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.4.4

Réorganisez les facteurs de $x^{4} \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(- \frac{30080 x^{2}}{3 x^{4}} + \frac{15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 15040000 \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.6

Multipliez $15040000$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{- 30080 x^{2} + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.7

Factorisez $30080$ à partir de $- 30080 x^{2} + 45120000$ .

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Étape 2.10.4.25.7.1

Factorisez $30080$ à partir de $- 30080 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 45120000}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.7.2

Factorisez $30080$ à partir de $45120000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.7.3

Factorisez $30080$ à partir de $30080 (- x^{2}) + 30080 (1500)$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.8

Pour écrire $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.9

Pour écrire $\frac{376}{225}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}} \cdot \frac{75}{75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $225 x^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.4.25.10.1

Multipliez $\frac{30080 (- x^{2} + 1500)}{3 x^{4}}$ par $\frac{75}{75}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{3 x^{4} \cdot 75} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.10.2

Multipliez $75$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376}{225} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.10.3

Multipliez $\frac{376}{225}$ par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{(\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75}{225 x^{4}} + \frac{376 x^{4}}{225 x^{4}}) \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.25.12.1

Factorisez $376$ à partir de $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + 376 x^{4}$ .

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Étape 2.10.4.25.12.1.1

Factorisez $376$ à partir de $30080 (- x^{2} + 1500) \cdot 75$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 x^{4}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.1.2

Factorisez $376$ à partir de $376 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.1.3

Factorisez $376$ à partir de $376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75) + 376 (x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (80 (- x^{2} + 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((80 (- x^{2}) + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.3

Multipliez $- 1$ par $80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 80 \cdot 1500) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.4

Multipliez $80$ par $1500$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ((- 80 x^{2} + 120000) \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 80 x^{2} \cdot 75 + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.6

Multipliez $75$ par $- 80$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 120000 \cdot 75 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.7

Multipliez $120000$ par $75$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (- 6000 x^{2} + 9000000 + x^{4})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9

Réécrivez $x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000$ en forme factorisée.

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Étape 2.10.4.25.12.9.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 ({(x^{2})}^{2} - 6000 x^{2} + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 9000000)}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.10.4.25.12.9.3.1

Réécrivez $9000000$ comme $3000^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 6000 u + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6000 u = 2 \cdot u \cdot 3000$

Étape 2.10.4.25.12.9.3.3

Réécrivez le polynôme.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3000 + 3000^{2})}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3000$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(u - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.12.9.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot (3375 x^{3})}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.13

Associez les exposants.

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Étape 2.10.4.25.13.1

Associez $\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ et $3375$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{376 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 3375}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.13.2

Multipliez $3375$ par $376$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}} \cdot x^{3}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.13.3

Associez $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{225 x^{4}}$ et $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.14

Réduisez l’expression $\frac{1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{225 x^{4}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.10.4.25.14.1

Factorisez $225$ à partir de $1269000 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.14.2

Factorisez $225$ à partir de $225 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 (x^{4})}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.14.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{225 (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3})}{225 x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.14.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.15

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.10.4.25.15.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{4}}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.4.25.15.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{x^{3} (5640 {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x^{3} x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.25.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{\frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x}}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.26

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x} \cdot \frac{1}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.27

Associez.

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2} \cdot 1}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.4.28

Multipliez $5640$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.5

Pour écrire $- \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}} \cdot \frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.6.1

Multipliez $\frac{16920000}{x {(3000 + x^{2})}^{2}}$ par $\frac{3000 + x^{2}}{3000 + x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{2} (3000 + x^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.6.2

Élevez $3000 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x ((3000 + x^{2}) {(3000 + x^{2})}^{2})} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{1 + 2}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16920000 (3000 + x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}} + \frac{5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.8.1

Factorisez $5640$ à partir de $- 16920000 (3000 + x^{2}) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ .

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Étape 2.10.8.1.1

Factorisez $5640$ à partir de $- 16920000 (3000 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.1.2

Factorisez $5640$ à partir de $5640 {(x^{2} - 3000)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.1.3

Factorisez $5640$ à partir de $5640 (- 3000 (3000 + x^{2})) + 5640 ({(x^{2} - 3000)}^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 (3000 + x^{2}) + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 \cdot 3000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.3

Multipliez $- 3000$ par $3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + {(x^{2} - 3000)}^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.4

Réécrivez ${(x^{2} - 3000)}^{2}$ comme $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + (x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.5

Développez $(x^{2} - 3000) (x^{2} - 3000)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 3000) - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 (x^{2} - 3000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.8.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.8.6.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.8.6.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.6.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 3000 - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.6.1.2

Déplacez $- 3000$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 \cdot x^{2} - 3000 x^{2} - 3000 \cdot - 3000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.6.1.3

Multipliez $- 3000$ par $- 3000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 3000 x^{2} - 3000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.6.2

Soustrayez $3000 x^{2}$ de $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 9000000 - 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 9000000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.7

Additionnez $- 9000000$ et $9000000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2} + 0)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.8

Additionnez $- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (- 3000 x^{2} + x^{4} - 6000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.9

Soustrayez $6000 x^{2}$ de $- 3000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{4} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.10

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 9000 x^{2}$ .

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Étape 2.10.8.10.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} - 9000 x^{2})}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.10.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9000 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.8.10.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9000$ .

$f'' (x) = \frac{5640 (x^{2} (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{5640 x^{2} (x^{2} - 9000)}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.9

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.10.9.1

Factorisez $x$ à partir de $5640 x^{2} (x^{2} - 9000)$ .

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x {(3000 + x^{2})}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x ({(3000 + x^{2})}^{3})}$

Étape 2.10.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (5640 x (x^{2} - 9000))}{x {(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 2.10.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{5640 x (x^{2} - 9000)}{{(3000 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $188$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ par rapport à $x$ est $188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$ .

$188 \frac{d}{d x} [{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$188 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ .

$188 (- {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $188$ .

$- 188 ({(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} \frac{d}{d x} [\frac{200}{x} + \frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{200}{x} + \frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\frac{200}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.3

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{200}{x}$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (200 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{15}])$

Étape 4.1.3.7

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} \cdot 1)$

Étape 4.1.3.9

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $1$ .

$f' (x) = - 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15})$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 5.3

Définissez ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ égal à $0$ .

${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Pour écrire $\frac{200}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.2

Pour écrire $\frac{x}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200}{x} \cdot \frac{15}{15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.2.1.2.3.1

Multipliez $\frac{200}{x}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x}{15} \cdot \frac{x}{x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.3.2

Multipliez $\frac{x}{15}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{x \cdot 15} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 15$ .

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15}{15 x} + \frac{x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(\frac{200 \cdot 15 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1.2.5.1

Multipliez $200$ par $15$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x \cdot x}{15 x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{{(\frac{3000 + x^{2}}{15 x})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3000 + x^{2}}{15 x}$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{{(15 x)}^{2}}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.7

Appliquez la règle de produit à $15 x$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{15^{2} x^{2}}} = 0$

Étape 5.3.2.1.2.8

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\frac{{(3000 + x^{2})}^{2}}{225 x^{2}}} = 0$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez $\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{225 x^{2}}{{(3000 + x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 5.3.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$225 x^{2} = 0$

Étape 5.3.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $225 x^{2} = 0$ par $225$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $225 x^{2} = 0$ par $225$ .

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Étape 5.3.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $225$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{225 x^{2}}{225} = \frac{0}{225}$

Étape 5.3.2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{225}$

Étape 5.3.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $225$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.3.2.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.3.2.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.2.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4

Définissez $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}$ égal à $0$ .

$- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 200 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 5.4.2.1.2

Associez $- 200$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 5.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{200}{x^{2}} + \frac{1}{15} = 0$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{15}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$

Étape 5.4.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.4.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 15$

Étape 5.4.2.3.2

Comme $x^{2}, 15$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 15$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{2}$ .

Étape 5.4.2.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.4.2.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.4.2.3.5

$15$ a des facteurs de $3$ et $5$ .

$3 \cdot 5$

Étape 5.4.2.3.6

Multipliez $3$ par $5$ .

$15$

Étape 5.4.2.3.7

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 5.4.2.3.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 5.4.2.3.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 5.4.2.3.10

Le plus petit multiple commun pour $x^{2}, 15$ est la partie numérique $15$ multipliée par la partie variable.

$15 x^{2}$

Étape 5.4.2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ par $15 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{200}{x^{2}} = - \frac{1}{15}$ par $15 x^{2}$ .

$- \frac{200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{200}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 200}{x^{2}} (15 x^{2}) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 200}{x^{2}} (x^{2} \cdot 15) = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 200 \cdot 15 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.2.2

Multipliez $- 200$ par $15$ .

$- 3000 = - \frac{1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.3.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{15}$ dans le numérateur.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.3.1.2

Factorisez $15$ à partir de $15 x^{2}$ .

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 (x^{2}))$

Étape 5.4.2.4.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 3000 = \frac{- 1}{15} (15 x^{2})$

Étape 5.4.2.4.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 3000 = - x^{2}$

Étape 5.4.2.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 3000$ .

$- x^{2} = - 3000$

Étape 5.4.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 3000$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 3000$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Étape 5.4.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 3000}{- 1}$

Étape 5.4.2.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3000}{- 1}$

Étape 5.4.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.5.2.3.1

Divisez $- 3000$ par $- 1$ .

$x^{2} = 3000$

Étape 5.4.2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3000}$

Étape 5.4.2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{3000}$ .

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Étape 5.4.2.5.4.1

Réécrivez $3000$ comme $10^{2} \cdot 30$ .

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Étape 5.4.2.5.4.1.1

Factorisez $100$ à partir de $3000$ .

$x = \pm \sqrt{100 (30)}$

Étape 5.4.2.5.4.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Étape 5.4.2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 10 \sqrt{30}$

Étape 5.4.2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10 \sqrt{30}$

Étape 5.4.2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10 \sqrt{30}$

Étape 5.4.2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ vraie.

$x = 0, 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Étape 5.6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2} (- 200 x^{- 2} + \frac{1}{15}) = 0$ vrai.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{200}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 6.2

Définissez la base dans ${(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 2}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 15, 1$

Étape 6.3.1.2

Comme $x, 15, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 15, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

Étape 6.3.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 6.3.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.3.1.5

$15$ a des facteurs de $3$ et $5$ .

$3 \cdot 5$

Étape 6.3.1.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.3.1.7

Le plus petit multiple commun de $1, 15, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 5$

Étape 6.3.1.8

Multipliez $3$ par $5$ .

$15$

Étape 6.3.1.9

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 6.3.1.10

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 6.3.1.11

Le plus petit multiple commun pour $x, 15, 1$ est la partie numérique $15$ multipliée par la partie variable.

$15 x$

Étape 6.3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ par $15 x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{200}{x} + \frac{x}{15} = 0$ par $15 x$ .

$\frac{200}{x} (15 x) + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$15 \frac{200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.2

Multipliez $15 \frac{200}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.2.1

Associez $15$ et $\frac{200}{x}$ .

$\frac{15 \cdot 200}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Multipliez $15$ par $200$ .

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3000}{x} x + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3000 + \frac{x}{15} (15 x) = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$3000 + 15 \frac{x}{15} x = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$3000 + x \cdot x = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.2.1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$3000 + x^{2} = 0 (15 x)$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

Multipliez $0 (15 x)$ .

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Étape 6.3.2.3.1.1

Multipliez $15$ par $0$ .

$3000 + x^{2} = 0 x$

Étape 6.3.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$3000 + x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $3000$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3000$

Étape 6.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3000}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3000}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $- 3000$ comme $- 1 (3000)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3000)}$

Étape 6.3.3.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3000)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3000}$

Étape 6.3.3.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3000}$

Étape 6.3.3.3.4

Réécrivez $3000$ comme $10^{2} \cdot 30$ .

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Étape 6.3.3.3.4.1

Factorisez $100$ à partir de $3000$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{100 (30)}$

Étape 6.3.3.3.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 30}$

Étape 6.3.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (10 \sqrt{30})$

Étape 6.3.3.3.6

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 10 i \sqrt{30}$

Étape 6.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10 i \sqrt{30}$

Étape 6.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10 i \sqrt{30}$

Étape 6.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10 i \sqrt{30}, - 10 i \sqrt{30}$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 10 \sqrt{30}, - 10 \sqrt{30}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 10 \sqrt{30}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5640 (10 \sqrt{30}) ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $5640$ par $10$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{30}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 10^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Étape 9.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Étape 9.2.3

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

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Étape 9.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Étape 9.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Étape 9.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Étape 9.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Étape 9.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Étape 9.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Étape 9.2.4

Multipliez $100$ par $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Étape 9.2.5

Additionnez $3000$ et $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Étape 9.2.6

Élevez $6000$ à la puissance $3$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} ({(10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{30}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (10^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

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Étape 9.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.4

Multipliez $100$ par $30$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Étape 9.3.5

Soustrayez $9000$ de $3000$ .

$\frac{56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Étape 9.3.6

Multipliez $- 6000$ par $56400$ .

$\frac{- 338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun à $- 338400000$ et $216000000000$ .

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Étape 9.4.1.1

Factorisez $7200000$ à partir de $- 338400000 \sqrt{30}$ .

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Étape 9.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1.2.1

Factorisez $7200000$ à partir de $216000000000$ .

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Étape 9.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7200000 (- 47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Étape 9.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 47 \sqrt{30}}{30000}$

Étape 9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Étape 10

$x = 10 \sqrt{30}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 10 \sqrt{30}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 10 \sqrt{30}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $10 \sqrt{30}$ dans l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun à $200$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $200$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (\sqrt{30})} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $\frac{20}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.3.1

Multipliez $\frac{20}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

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Étape 11.2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun à $20$ et $30$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $10$ à partir de $20 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.4.2.1

Factorisez $10$ à partir de $30$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $15$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Étape 11.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 11.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{2 \sqrt{30} + 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $2 \sqrt{30}$ et $2 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 11.2.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $188$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Étape 11.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{3}{4 (\sqrt{30})})$

Étape 11.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{3}{4 \sqrt{30}}))$

Étape 11.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{3}{\sqrt{30}})$

Étape 11.2.5

Associez $47$ et $\frac{3}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot 3}{\sqrt{30}}$

Étape 11.2.6

Multipliez $47$ par $3$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}}$

Étape 11.2.7

Multipliez $\frac{141}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

Étape 11.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.8.1

Multipliez $\frac{141}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 11.2.8.2

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 11.2.8.3

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 11.2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 11.2.8.6

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

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Étape 11.2.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Étape 11.2.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Étape 11.2.9

Annulez le facteur commun à $141$ et $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $141 \sqrt{30}$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Étape 11.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Étape 11.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Étape 11.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (10 \sqrt{30}) = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Étape 11.2.10

La réponse finale est $\frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10 \sqrt{30}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5640 (- 10 \sqrt{30}) ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $- 10$ par $5640$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10 \sqrt{30})}^{2})}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 10 \sqrt{30}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + {(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Étape 13.2.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {\sqrt{30}}^{2})}^{3}}$

Étape 13.2.3

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{3}}$

Étape 13.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}^{3}}$

Étape 13.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Étape 13.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{\frac{2}{2}})}^{3}}$

Étape 13.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30^{1})}^{3}}$

Étape 13.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 100 \cdot 30)}^{3}}$

Étape 13.2.4

Multipliez $100$ par $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{{(3000 + 3000)}^{3}}$

Étape 13.2.5

Additionnez $3000$ et $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{6000^{3}}$

Étape 13.2.6

Élevez $6000$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10 \sqrt{30})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 10 \sqrt{30}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} ({(- 10)}^{2} {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {\sqrt{30}}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 {(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{\frac{2}{2}} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30^{1} - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (100 \cdot 30 - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.4

Multipliez $100$ par $30$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} (3000 - 9000)}{216000000000}$

Étape 13.3.5

Soustrayez $9000$ de $3000$ .

$\frac{- 56400 \sqrt{30} \cdot - 6000}{216000000000}$

Étape 13.3.6

Multipliez $- 6000$ par $- 56400$ .

$\frac{338400000 \sqrt{30}}{216000000000}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun à $338400000$ et $216000000000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Factorisez $7200000$ à partir de $338400000 \sqrt{30}$ .

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{216000000000}$

Étape 13.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.2.1

Factorisez $7200000$ à partir de $216000000000$ .

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 (30000)}$

Étape 13.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7200000 (47 \sqrt{30})}{7200000 \cdot 30000}$

Étape 13.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{47 \sqrt{30}}{30000}$

Étape 14

$x = - 10 \sqrt{30}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 10 \sqrt{30}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 10 \sqrt{30}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10 \sqrt{30}$ dans l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{200}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun à $200$ et $- 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $200$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{- 10 \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 (20)}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{10 \cdot 20}{10 (- \sqrt{30})} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{20}{- \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20}{\sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{20}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- (\frac{20}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}) + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.1

Multipliez $\frac{20}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{20 \sqrt{30}}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun à $20$ et $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $10$ à partir de $20 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{30} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $30$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 (3)} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{10 (2 \sqrt{30})}{10 \cdot 3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{30}}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.6

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{15})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 (3)})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{5 (- 2 \sqrt{30})}{5 \cdot 3})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 15.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{2 \sqrt{30}}{3} - \frac{2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 15.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 2 \sqrt{30} - 2 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 15.2.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{30}$ de $- 2 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(\frac{- 4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 15.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 {(- \frac{4 \sqrt{30}}{3})}^{- 1}$

Étape 15.2.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (- \frac{3}{4 \sqrt{30}})$

Étape 15.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4 \sqrt{30}}$ dans le numérateur.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 188 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Étape 15.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $188$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}})$

Étape 15.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 (47) (\frac{- 3}{4 (\sqrt{30})})$

Étape 15.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 4 \cdot (47 (\frac{- 3}{4 \sqrt{30}}))$

Étape 15.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = 47 (\frac{- 3}{\sqrt{30}})$

Étape 15.2.5

Associez $47$ et $\frac{- 3}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{47 \cdot - 3}{\sqrt{30}}$

Étape 15.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.6.1

Multipliez $47$ par $- 3$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = \frac{- 141}{\sqrt{30}}$

Étape 15.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141}{\sqrt{30}}$

Étape 15.2.7

Multipliez $\frac{141}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - (\frac{141}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}})$

Étape 15.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.1

Multipliez $\frac{141}{\sqrt{30}}$ par $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 15.2.8.2

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 15.2.8.3

Élevez $\sqrt{30}$ à la puissance $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

Étape 15.2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

Étape 15.2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

Étape 15.2.8.6

Réécrivez ${\sqrt{30}}^{2}$ comme $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{30}$ comme $30^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.2.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.2.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.2.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.2.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Étape 15.2.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{141 \sqrt{30}}{30}$

Étape 15.2.9

Annulez le facteur commun à $141$ et $30$ .

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Étape 15.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $141 \sqrt{30}$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{30}$

Étape 15.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 (10)}$

Étape 15.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{3 (47 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

Étape 15.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt{30}) = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Étape 15.2.10

La réponse finale est $- \frac{47 \sqrt{30}}{10}$ .

$y = - \frac{47 \sqrt{30}}{10}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 188 {(\frac{200}{x} + \frac{x}{15})}^{- 1}$ .

$(10 \sqrt{30}, \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ est un maximum local

$(- 10 \sqrt{30}, - \frac{47 \sqrt{30}}{10})$ est un minimum local

Étape 17