Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.3.3

Multipliez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.5.2

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.10

Simplifiez les termes.

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Étape 1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.10.4

Associez $2$ et $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 1.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.7

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez ${(x + 4)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.5.2

Factorisez ${(x + 4)}^{2}$ à partir de ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez ${(x + 4)}^{2}$ à partir de ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez ${(x + 4)}^{2}$ à partir de $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez ${(x + 4)}^{2}$ à partir de ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez ${(x + 4)}^{2}$ à partir de ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.10.3

Associez $- 2$ et $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.3.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.3

Multipliez $2 (- 3 \cdot - 4)$ .

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Étape 2.11.3.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x + 8 - 6 x + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3.2

Soustrayez $6 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 8 + 24}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.3.3

Additionnez $8$ et $24$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 32$ .

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Étape 2.11.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 32}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.4.2

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x) + 4 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.6

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.8

Réécrivez $- (x - 8)$ comme $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 2.11.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Étape 2.11.11

Multipliez $\frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Étape 4.1.2

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3

Multipliez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 4.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.5.2.3

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 4.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.10.4

Associez $2$ et $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 2 x + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 4.1.11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.7

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.1.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x - 4) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 4) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 4) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{8^{4}}$

Étape 9.2.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4096}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{- 16}{4096}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4096$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$\frac{16 (- 1)}{4096}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $4096$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 256}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{256}$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{256}$

Étape 10

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{2 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (4) = \frac{8}{{(4 + 4)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (4) = \frac{8}{8^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{8}{64}$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $64$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (4) = \frac{8 (1)}{64}$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ est un maximum local

Étape 13