Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2} - 6 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x$ .

$2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 1.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x^{2} - 6 x}$ et $g (x) = 2 x - 6$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} (2 x - 6) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} (2 + 0) + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 6 x} \cdot 2 + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2} - 6 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 6 x}))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x)))$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)))$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)))$

Étape 2.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1))$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6))$

Étape 2.6

Élevez $2 x - 6$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x})$

Étape 2.7

Élevez $2 x - 6$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + (2 x - 6) (2 x - 6) e^{x^{2} - 6 x})$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + {(2 x - 6)}^{1 + 1} e^{x^{2} - 6 x})$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x} + {(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 6 x}) + 2 ({(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x})$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 6 x} + 2 {(2 x - 6)}^{2} e^{x^{2} - 6 x}$

Étape 2.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x} {(2 x - 6)}^{2} + 4 e^{x^{2} - 6 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x^{2} - 6 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 6 x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x$ .

$2 (e^{x^{2} - 6 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6 \cdot 1)$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x^{2} - 6 x} = 0$

$2 x - 6 = 0$

Étape 5.3

Définissez $e^{x^{2} - 6 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $e^{x^{2} - 6 x}$ égal à $0$ .

$e^{x^{2} - 6 x} = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $e^{x^{2} - 6 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x^{2} - 6 x}) = \ln (0)$

Étape 5.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x^{2} - 6 x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.4

Définissez $2 x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $2 x - 6$ égal à $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $2 x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 6$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 6$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Étape 5.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.2.3.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = 3$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{x^{2} - 6 x} (2 x - 6) = 0$ vraie.

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 e^{9 - 6 \cdot 3} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$2 e^{9 - 18} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$2 e^{- 9} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{e^{9}} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{9}}$ .

$\frac{2}{e^{9}} {(2 (3) - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{e^{9}} {(6 - 6)}^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{2}{e^{9}} \cdot 0^{2} + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{e^{9}} \cdot 0 + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.8

Multipliez $\frac{2}{e^{9}}$ par $0$ .

$0 + 4 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.9.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$0 + 4 e^{9 - 6 \cdot 3}$

Étape 9.1.9.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$0 + 4 e^{9 - 18}$

Étape 9.1.10

Soustrayez $18$ de $9$ .

$0 + 4 e^{- 9}$

Étape 9.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 4 \frac{1}{e^{9}}$

Étape 9.1.12

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{9}}$ .

$0 + \frac{4}{e^{9}}$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $\frac{4}{e^{9}}$ .

$\frac{4}{e^{9}}$

Étape 10

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 2 e^{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 2 e^{9 - 6 \cdot 3}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f (3) = 2 e^{9 - 18}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (3) = 2 e^{- 9}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (3) = 2 (\frac{1}{e^{9}})$

Étape 11.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f (3) = \frac{2}{e^{9}}$

Étape 11.2.5

La réponse finale est $\frac{2}{e^{9}}$ .

$y = \frac{2}{e^{9}}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 e^{x^{2} - 6 x}$ .

$(3, \frac{2}{e^{9}})$ est un minimum local

Étape 13