Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Étape 1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Étape 1.1.3

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Étape 1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Étape 1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{2}{8}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Étape 1.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x}{4} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Étape 4.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Étape 4.1.1.3

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Étape 4.1.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 4.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Étape 4.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Étape 4.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Étape 4.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Étape 4.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Étape 4.1.4.2

Associez $\frac{2}{8}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Étape 4.1.4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 4.1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Étape 4.1.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x}{4}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{4} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{4} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{4}$

Étape 9

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Divisez $0$ par $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Étape 10.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Étape 10.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

Étape 12