Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6 e^{x}$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 e^{x} = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.90120103$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 0.90120103$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.90120103$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 0.90120103) - 6 e^{- 0.90120103}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $6$ par $- 0.90120103$ .

$- 5.40720619 - 6 e^{- 0.90120103}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5.40720619 - 6 \frac{1}{e^{0.90120103}}$

Étape 9.1.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{0.90120103}}$ .

$- 5.40720619 + \frac{- 6}{e^{0.90120103}}$

Étape 9.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5.40720619 - \frac{6}{e^{0.90120103}}$

Étape 9.2

Soustrayez $\frac{6}{e^{0.90120103}}$ de $- 5.40720619$ .

$- 7.84369608$

Étape 10

$x = - 0.90120103$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.90120103$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.90120103$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.90120103$ dans l’expression.

$f (- 0.90120103) = {(- 0.90120103)}^{3} - 6 e^{- 0.90120103}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 0.90120103$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - 6 e^{- 0.90120103}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - 6 \frac{1}{e^{0.90120103}}$

Étape 11.2.1.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{0.90120103}}$ .

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 + \frac{- 6}{e^{0.90120103}}$

Étape 11.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 0.90120103) = - 0.7319224 - \frac{6}{e^{0.90120103}}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $\frac{6}{e^{0.90120103}}$ de $- 0.7319224$ .

$f (- 0.90120103) = - 3.1684123$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 3.1684123$ .

$y = - 3.1684123$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 6 e^{x}$ .

$(- 0.90120103, - 3.1684123)$ est un maximum local

Étape 13