Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $96 x$ par rapport à $x$ est $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.4.3

Multipliez $96$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 72 x + 96$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 5.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 5.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 5.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 5.2.2.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 5.2.2.3.5

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 5.2.2.3.6

Multipliez $24$ par $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Étape 5.2.2.3.7

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$16 - 16$

Étape 5.2.2.3.8

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 5.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 5.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 5.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 5.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 5.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 5.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 5.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 5.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Étape 5.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 5.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 5.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 5.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 5.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Étape 5.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 8 x + 16$

Étape 5.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 5.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$12 - 72 + 96$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Soustrayez $72$ de $12$ .

$- 60 + 96$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 60$ et $96$ .

$36$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 11.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 11.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $48$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $12$ de $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 11$ et $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $64$ de $37$ .

$f (1) = - 27$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 27$ .

$y = - 27$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Étape 13.1.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$192 - 288 + 96$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $288$ de $192$ .

$- 96 + 96$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 96$ et $96$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 14.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Étape 14.2.2.1.5

Multipliez $96$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Étape 14.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Étape 14.2.2.2.3

Soustrayez $64$ de $0$ .

$f' (0) = - 64$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $- 64$ .

$- 64$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(1, 4)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Étape 14.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Étape 14.3.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Étape 14.3.2.1.5

Multipliez $96$ par $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.2.1

Soustrayez $144$ de $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Étape 14.3.2.2.2

Additionnez $- 112$ et $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Étape 14.3.2.2.3

Soustrayez $64$ de $80$ .

$f' (2) = 16$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Étape 14.4.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Étape 14.4.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Étape 14.4.2.1.5

Multipliez $96$ par $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Soustrayez $1296$ de $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Étape 14.4.2.2.2

Additionnez $- 432$ et $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Étape 14.4.2.2.3

Soustrayez $64$ de $144$ .

$f' (6) = 80$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $80$ .

$80$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 14.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 4$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ est un minimum local

Étape 15