Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ et $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 18 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $18 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 2 x (9) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ et dont la somme est $b = 9$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 (x) + 9) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3$ plus $6$

$2 x (2 x^{2} + (3 + 6) x + 9) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2} + 3 x + 6 x + 9) = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 x ((2 x^{2} + 3 x) + 6 x + 9) = 0$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$2 x ((2 x + 3) (x + 3)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 5.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} + 36 (0) + 18$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 + 36 (0) + 18$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 36 (0) + 18$

Étape 9.1.3

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 + 0 + 18$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 18$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$18$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 \cdot 0 + 1$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $9$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$12 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{9}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$27 + 36 (\frac{- 3}{2}) + 18$

Étape 13.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$27 + 2 (18) \frac{- 3}{2} + 18$

Étape 13.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$27 + 2 \cdot 18 \frac{- 3}{2} + 18$

Étape 13.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$27 + 18 \cdot - 3 + 18$

Étape 13.1.9

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$27 - 54 + 18$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$- 27 + 18$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$- 9$

Étape 14

$x = - \frac{3}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 (3) (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.10.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.10.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.10.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.11

Associez $3$ et $\frac{- 27}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.12

Multipliez $3$ par $- 27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Étape 15.2.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 1$

Étape 15.2.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Étape 15.2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Étape 15.2.1.16

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 1$

Étape 15.2.1.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 1$

Étape 15.2.1.18

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Étape 15.2.1.19

Multipliez $9 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 15.2.1.19.1

Associez $9$ et $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Étape 15.2.1.19.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{81}{4} + 1$

Étape 15.2.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{- 81 + 81}{4}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Étape 15.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Étape 15.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Étape 15.2.3.4

Multipliez $\frac{0}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 15.2.3.5

Multipliez $\frac{0}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Étape 15.2.3.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{16}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0 \cdot 4}{16}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0}{16}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $16$ et $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97 + 0}{16}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $97$ et $0$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97}{16}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{97}{16}$ .

$y = \frac{97}{16}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 3)}^{2} + 36 (- 3) + 18$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 9 + 36 (- 3) + 18$

Étape 17.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$108 + 36 (- 3) + 18$

Étape 17.1.3

Multipliez $36$ par $- 3$ .

$108 - 108 + 18$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $108$ de $108$ .

$0 + 18$

Étape 17.2.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$18$

Étape 18

$x = - 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = 81 + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Étape 19.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = 81 + 6 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Étape 19.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 \cdot 9 + 1$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81 + 1$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81 + 1$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$f (- 3) = 0 + 1$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (- 3) = 1$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

$(- \frac{3}{2}, \frac{97}{16})$ est un maximum local

$(- 3, 1)$ est un minimum local

Étape 21