Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{9} \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = \ln (2 x)$ .

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{9}$ et $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.4.1

Associez $2$ et $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.4.2.2

Divisez $x^{8}$ par $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.6

Multipliez $x^{8}$ par $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Étape 1.5.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{8}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{8}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f'' (x) = 5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x^{8} \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (2 x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = \ln (2 x)$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} \frac{d}{d x} (\ln (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot 2) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $2$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.10

Associez $x^{8}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{8}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11

Annulez le facteur commun à $x^{8}$ et $x$ .

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Étape 2.3.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{8}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{7}}{1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.3.11.2.5

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{7} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 45 (\ln (2 x) (8 x^{7}))$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $8$ par $45$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 360 (\ln (2 x) (x^{7}))$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $40 x^{7}$ et $45 x^{7}$ .

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 \ln (2 x) x^{7}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 x^{7} \ln (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{9} \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Étape 4.1.2

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{9}$ et $x$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.4.4.1

Associez $2$ et $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.4.2.2

Divisez $x^{8}$ par $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.6

Multipliez $x^{8}$ par $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 4.1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Étape 4.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5 x^{8}$ des deux côtés de l’équation.

$45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ par $45 x^{8}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ par $45 x^{8}$ .

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $45$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (2 x)$ par $1$ .

$\ln (2 x) = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $45$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{45 x^{8}}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 x) = \frac{- 1}{9}$

Étape 5.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 x)} = e^{- \frac{1}{9}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{9}} = 2 x$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ .

$2 x = e^{- \frac{1}{9}}$

Étape 5.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.3.1

Placez $e^{- \frac{1}{9}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (2 x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x \leq 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 x \leq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \leq 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x \leq 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$85 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$85 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$85 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

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Étape 9.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.3.2.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $7$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.4

Associez $85$ et $\frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.7.1

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.7.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

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Étape 9.1.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.7.2.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $360$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $128 e^{\frac{7}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 \cdot 45 \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 45 \frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.9

Associez $45$ et $\frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 9.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})$

Étape 9.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Étape 9.1.11

Placez $e^{\frac{1}{9}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Étape 9.1.12

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ en déplaçant $- \frac{1}{9}$ hors du logarithme.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \ln (e))$

Étape 9.1.13

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Étape 9.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9})$

Étape 9.1.15

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 9.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Étape 9.1.15.2

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 (5)}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Étape 9.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 \cdot 5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Étape 9.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot - 1$

Étape 9.1.16

Associez $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ et $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5 \cdot - 1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.1.17

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{- 5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.2

Pour écrire $- \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $128 e^{\frac{7}{9}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{16 e^{\frac{7}{9}} \cdot 8}$

Étape 9.3.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{85 - 5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{85 - 40}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $40$ de $85$ .

$\frac{45}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Étape 10

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{9} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{9}})}^{9}$ .

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Étape 11.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 11.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.3.3

Simplifiez

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{512 e}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Étape 11.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Étape 11.2.4.3

Placez $e^{\frac{1}{9}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Étape 11.2.5

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ en déplaçant $- \frac{1}{9}$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot \ln (e))$

Étape 11.2.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9})$

Étape 11.2.8

Multipliez $\frac{5}{512 e} (- \frac{1}{9})$ .

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Étape 11.2.8.1

Multipliez $\frac{5}{512 e}$ par $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{512 e \cdot 9}$

Étape 11.2.8.2

Multipliez $9$ par $512$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{4608 e}$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $- \frac{5}{4608 e}$ .

$y = - \frac{5}{4608 e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$ .

$(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}, - \frac{5}{4608 e})$ est un minimum local

Étape 13