Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{7}{4}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{7}{4}$ et $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.8

Associez $5$ et $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.9

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 70 x$ par rapport à $x$ est $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 70$ par $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ et $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{35}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{35}{4}$ par $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.11

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.2.12

Placez $x^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 70$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{7}{4}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.7

Associez $\frac{7}{4}$ et $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.8

Associez $5$ et $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 70 x$ par rapport à $x$ est $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 70$ par $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $70$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Associez.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4.1.1.5

Divisez $x^{\frac{3}{4}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Factorisez $35$ à partir de $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Étape 5.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Étape 5.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Étape 5.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.6.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.1.1.2

Simplifiez

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.1

Simplifiez $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.2.1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 5.6.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 5.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 5.6.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2^{4}$

Étape 5.6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = 16$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 16$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 16$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $16$ par ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1

Multipliez $16$ par ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Élevez $16$ à la puissance $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Étape 9.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Étape 9.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Étape 9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Étape 9.1.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Étape 9.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{105}{2^{5}}$

Étape 9.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{105}{32}$

Étape 10

$x = 16$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 16$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 16$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $16$ dans l’expression.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $5$ par $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 70$ par $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1120$ de $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 480$ et $15$ .

$f (16) = - 465$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 465$ .

$y = - 465$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ est un minimum local

Étape 13