Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Étape 1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Étape 1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {(x + 2)}^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.5.8

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.6.8

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Étape 1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Étape 1.8.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Étape 1.8.2.3

Additionnez $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ et $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 {(x + 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $20$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $60 {(x + 2)}^{2} - 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Étape 4.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Étape 4.1.4

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {(x + 2)}^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.5.8

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.6.8

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.1.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Étape 4.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Étape 4.1.8.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Étape 4.1.8.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Étape 4.1.8.2.3

Additionnez $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) - 4 x - 8 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x - 2) = 0$

Étape 5.2.2

Utilisez le théorème du binôme.

$4 (5 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Étape 5.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Étape 5.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - x - 2) = 0$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 (5 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Étape 5.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $12$ par $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Étape 5.2.5.3

Multipliez $5$ par $8$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 40 - x - 2) = 0$

Étape 5.2.6

Soustrayez $x$ de $60 x$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 40 - 2) = 0$

Étape 5.2.7

Soustrayez $2$ de $40$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38) = 0$

Étape 5.2.8

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Factorisez $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 38, \pm 2, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 5.2.8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 38, \pm 7.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 19, \pm 3.8$

Étape 5.2.8.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

$5 {(- 2)}^{3} + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$5 \cdot - 8 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$- 40 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 40 + 30 \cdot 4 + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.5

Multipliez $30$ par $4$ .

$- 40 + 120 + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.6

Additionnez $- 40$ et $120$ .

$80 + 59 \cdot - 2 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.7

Multipliez $59$ par $- 2$ .

$80 - 118 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.8

Soustrayez $118$ de $80$ .

$- 38 + 38$

Étape 5.2.8.1.3.9

Additionnez $- 38$ et $38$ .

$0$

Étape 5.2.8.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38}{x + 2}$

Étape 5.2.8.1.5

Divisez $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ par $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$5 x^{3}$

$30 x^{2}$

$59 x$

$38$

Étape 5.2.8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$

Étape 5.2.8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			+	$5 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 5.2.8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} + 10 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 5.2.8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$

Étape 5.2.8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Étape 5.2.8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Étape 5.2.8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$40 x$

Étape 5.2.8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x^{2} + 40 x$

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$

Étape 5.2.8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$

Étape 5.2.8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Étape 5.2.8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $19 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Étape 5.2.8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							+	$19 x$	+	$38$

Étape 5.2.8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $19 x + 38$

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$

Étape 5.2.8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$
										$0$

Étape 5.2.8.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$5 x^{2} + 20 x + 19$

Étape 5.2.8.1.6

Écrivez $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19)) = 0$

Étape 5.2.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.5

Définissez $5 x^{2} + 20 x + 19$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $5 x^{2} + 20 x + 19$ égal à $0$ .

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 20$ et $c = 19$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 19)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Soustrayez $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Étape 5.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Soustrayez $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Étape 5.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.4.5

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - 1 (- \sqrt{5})}{5}$

Étape 5.5.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (10) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 - \sqrt{5})}{5}$

Étape 5.5.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Soustrayez $380$ de $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Étape 5.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 10 - \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.5.5

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - (\sqrt{5})}{5}$

Étape 5.5.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (10) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 + \sqrt{5})}{5}$

Étape 5.5.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$ vraie.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {((- 2) + 2)}^{2} - 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$60 \cdot 0^{2} - 4$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$60 \cdot 0 - 4$

Étape 9.1.3

Multipliez $60$ par $0$ .

$0 - 4$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 10

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 5 {((- 2) + 2)}^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Étape 11.2.1.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0^{2} + 8$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0 + 8$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (- 2) = 0 + 0 + 8$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (- 2) = 0 + 8$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$f (- 2) = 8$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $8$ .

$y = 8$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$60 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.3

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$60 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.3.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.5

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$60 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.4.6

Additionnez $0$ et $\sqrt{5}$ .

$60 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Étape 13.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Étape 13.1.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Étape 13.1.8.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Étape 13.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Étape 13.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Étape 13.1.9

Associez $12$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Étape 13.1.10

Multipliez $12$ par $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Étape 13.1.11

Divisez $60$ par $5$ .

$12 - 4$

Étape 13.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$

Étape 14

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.3

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.3.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.5

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.4.6

Additionnez $0$ et $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{4}$ comme $5^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.6.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.9

Annulez le facteur commun à $25$ et $125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.9.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.9.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.11

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.3

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.3.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.5

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.13.6

Additionnez $0$ et $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Étape 15.2.1.14

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.15.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Étape 15.2.1.16

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Étape 15.2.1.17

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.17.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Étape 15.2.1.17.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Étape 15.2.1.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Étape 15.2.1.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Étape 15.2.1.18

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Étape 15.2.1.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Étape 15.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Étape 15.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Étape 15.2.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 15.2.4

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 15.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Étape 15.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.6.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Étape 15.2.6.2

Soustrayez $1$ de $40$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$60 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.4.4

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$60 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.4.5

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $0$ .

$60 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$60 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Étape 17.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) - 4$

Étape 17.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Étape 17.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$60 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Étape 17.1.8

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Étape 17.1.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Étape 17.1.11

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.11.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Étape 17.1.11.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Étape 17.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Étape 17.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Étape 17.1.12

Associez $12$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Étape 17.1.13

Multipliez $12$ par $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Étape 17.1.14

Divisez $60$ par $5$ .

$12 - 4$

Étape 17.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$

Étape 18

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.4.4

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.4.5

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.8

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.9.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{4}$ comme $5^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.9.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.9.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.9.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.10

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.11

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.11.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.12

Annulez le facteur commun à $25$ et $125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.12.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.12.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.14

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.16.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.16.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.16.4

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.16.5

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Étape 19.2.1.18

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.18.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 8$

Étape 19.2.1.18.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Étape 19.2.1.19

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Étape 19.2.1.20

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.21.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.21.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.21.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Étape 19.2.1.22

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Étape 19.2.1.23

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.23.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Étape 19.2.1.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.23.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Étape 19.2.1.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Étape 19.2.1.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Étape 19.2.1.24

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Étape 19.2.1.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Étape 19.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Étape 19.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Étape 19.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Étape 19.2.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 19.2.4

Associez $8$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Étape 19.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Étape 19.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.6.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Étape 19.2.6.2

Soustrayez $1$ de $40$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Étape 19.2.7

La réponse finale est $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$(- 2, 8)$ est un maximum local

$(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ est un minimum local

$(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ est un minimum local

Étape 21