Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 e^{x} + 5 e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$5 e^{x} + 5 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$5 e^{x} + 5 (- e^{- x})$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 e^{x} - 5 e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} - 5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} - 5 (- e^{- x})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 5 e^{x} + 5 e^{- x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 e^{x} - 5 e^{- x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} + 5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$5 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$5 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 4.1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$5 e^{x} + 5 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 4.1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$5 e^{x} + 5 (- e^{- x})$

Étape 4.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = 5 e^{x} - 5 e^{- x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 e^{x} - 5 e^{- x}$ .

$5 e^{x} - 5 e^{- x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 e^{x} - 5 e^{- x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 e^{x} - 5 e^{- x} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- 5 e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$5 e^{x} = 5 e^{- x}$

Étape 5.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5 e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Étape 5.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\ln (5 e^{x})$ comme $\ln (5) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- x})$

Étape 5.4.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (5) + x \ln (e) = \ln (5 e^{- x})$

Étape 5.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (5) + x \cdot 1 = \ln (5 e^{- x})$

Étape 5.4.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5 e^{- x})$

Étape 5.5

Développez le côté droit.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\ln (5 e^{- x})$ comme $\ln (5) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) + \ln (e^{- x})$

Étape 5.5.2

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \ln (e)$

Étape 5.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x \cdot 1$

Étape 5.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (5) + x = \ln (5) - x$

Étape 5.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (5) - \ln (5) = - x - x$

Étape 5.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - x - x$

Étape 5.8

Divisez $5$ par $5$ .

$\ln (1) = - x - x$

Étape 5.9

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 = - x - x$

Étape 5.10

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$0 = - 2 x$

Étape 5.11

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 x = 0$

Étape 5.12

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.12.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.12.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Étape 5.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.12.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$5 e^{0} + 5 e^{- (0)}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 \cdot 1 + 5 e^{- (0)}$

Étape 9.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + 5 e^{- (0)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 + 5 e^{0}$

Étape 9.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 + 5 \cdot 1$

Étape 9.1.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + 5$

Étape 9.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$10$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 5 e^{0} + 5 e^{- (0)}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1 + 5 e^{- (0)}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (0) = 5 + 5 e^{- (0)}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 5 + 5 e^{0}$

Étape 11.2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 5 + 5 \cdot 1$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (0) = 5 + 5$

Étape 11.2.2

Additionnez $5$ et $5$ .

$f (0) = 10$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 e^{x} + 5 e^{- x}$ .

$(0, 10)$ est un minimum local

Étape 13