Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $10000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000}{x}$ par rapport à $x$ est $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Associez $- 10000$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{10000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10000}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 10000$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $20000$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{20000}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{9} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $10000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000}{x}$ par rapport à $x$ est $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $- 10000$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{1}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 9$

Étape 5.3.2

Comme $x^{2}, 9$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 9$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{2}$ .

Étape 5.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.3.5

$9$ a des facteurs de $3$ et $3$ .

$3 \cdot 3$

Étape 5.3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$

Étape 5.3.7

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 5.3.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 5.3.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 5.3.10

Le plus petit multiple commun pour $x^{2}, 9$ est la partie numérique $9$ multipliée par la partie variable.

$9 x^{2}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ par $9 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ par $9 x^{2}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10000}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 10000 \cdot 9 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.2.2

Multipliez $- 10000$ par $9$ .

$- 90000 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.3.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{2}$ .

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 (x^{2}))$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Étape 5.4.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 90000 = - x^{2}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 90000$ .

$- x^{2} = - 90000$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 90000$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 90000$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 90000}{- 1}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $- 90000$ par $- 1$ .

$x^{2} = 90000$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{90000}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{90000}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $90000$ comme $300^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{300^{2}}$

Étape 5.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 300$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 300$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 300$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 300, - 300$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10000}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 300, - 300$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 300$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{20000}{{(300)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $300$ à la puissance $3$ .

$\frac{20000}{27000000}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $20000$ et $27000000$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $20000$ .

$\frac{20000 (1)}{27000000}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $27000000$ .

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1350}$

Étape 10

$x = 300$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 300$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 300$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $300$ dans l’expression.

$f (300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (300) + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot 300 + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{10000}{300}$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun à $10000$ et $300$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Factorisez $100$ à partir de $10000$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{300}$

Étape 11.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.2.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Étape 11.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Étape 11.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100}{3}$

Étape 11.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (300) = 5 + \frac{100 + 100}{3}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $100$ et $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{200}{3}$

Étape 11.2.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{200}{3}$

Étape 11.2.4

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{200}{3}$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (300) = \frac{5 \cdot 3 + 200}{3}$

Étape 11.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (300) = \frac{15 + 200}{3}$

Étape 11.2.6.2

Additionnez $15$ et $200$ .

$f (300) = \frac{215}{3}$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $\frac{215}{3}$ .

$y = \frac{215}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 300$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{20000}{{(- 300)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Élevez $- 300$ à la puissance $3$ .

$\frac{20000}{- 27000000}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun à $20000$ et $- 27000000$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $20000$ .

$\frac{20000 (1)}{- 27000000}$

Étape 13.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $- 27000000$ .

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Étape 13.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Étape 13.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 1350}$

Étape 13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1350}$

Étape 14

$x = - 300$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 300$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 300$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 300$ dans l’expression.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (- 300) + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot - 300 + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 300$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot - 100 + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun à $10000$ et $- 300$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $10000$ .

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{- 300}$

Étape 15.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.4.2.1

Factorisez $100$ à partir de $- 300$ .

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Étape 15.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Étape 15.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100}{- 3}$

Étape 15.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} - \frac{100}{3}$

Étape 15.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100 - 100}{3}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.2.1

Soustrayez $100$ de $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 200}{3}$

Étape 15.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 300) = 5 - \frac{200}{3}$

Étape 15.2.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{200}{3}$

Étape 15.2.4

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{200}{3}$

Étape 15.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3 - 200}{3}$

Étape 15.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.6.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (- 300) = \frac{15 - 200}{3}$

Étape 15.2.6.2

Soustrayez $200$ de $15$ .

$f (- 300) = \frac{- 185}{3}$

Étape 15.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 300) = - \frac{185}{3}$

Étape 15.2.8

La réponse finale est $- \frac{185}{3}$ .

$y = - \frac{185}{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ .

$(300, \frac{215}{3})$ est un minimum local

$(- 300, - \frac{185}{3})$ est un maximum local

Étape 17