Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 - 4 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 - 4 \frac{1}{x}$

Étape 1.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 4}{x}$

Étape 1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{4}{x}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{4}{x}$ de $0$ .

$- \frac{4}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{- 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.5.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{4}{x} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6