Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 111$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 111 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.5.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ et $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 222 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 222 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 222$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 222 x$ par rapport à $x$ est $- 222 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 222$ par $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + \frac{d}{d x} (120)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $72 x^{2} - 96 x - 222$ et $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 111$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 111 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.6.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $24 x^{3}$ .

$6 (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) - 222 x + 120 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 222 x$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 120 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $120$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2})$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 5.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 20, \pm 5, \pm 10, \pm 2, \pm 2.5, \pm 4, \pm 1.25$

Étape 5.2.2.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$4 \cdot {0.5}^{3} - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 0.125 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.3

Multipliez $4$ par $0.125$ .

$0.5 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.5 - 8 \cdot 0.25 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.5

Multipliez $- 8$ par $0.25$ .

$0.5 - 2 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.6

Soustrayez $2$ de $0.5$ .

$- 1.5 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.7

Multipliez $- 37$ par $0.5$ .

$- 1.5 - 18.5 + 20$

Étape 5.2.2.3.8

Soustrayez $18.5$ de $- 1.5$ .

$- 20 + 20$

Étape 5.2.2.3.9

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$0$

Étape 5.2.2.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20}{2 x - 1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ par $2 x - 1$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$37 x$

$20$

Étape 5.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$

Étape 5.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 5.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Étape 5.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Étape 5.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 5.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 5.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$

Étape 5.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Étape 5.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 40 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Étape 5.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							-	$40 x$	+	$20$

Étape 5.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 40 x + 20$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$

Étape 5.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$
										$0$

Étape 5.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 3 x - 20$

Étape 5.2.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ comme un ensemble de facteurs.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ et dont la somme est $b = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Étape 5.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $5$ plus $- 8$

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + (5 - 8) x - 20)) = 0$

Étape 5.2.3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20)) = 0$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((2 x - 1) ((2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20)) = 0$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 ((2 x - 1) (x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5))) = 0$

Étape 5.2.3.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 5$ .

$6 ((2 x - 1) ((2 x + 5) (x - 4))) = 0$

Étape 5.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5.5

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 5.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(\frac{1}{2})}^{2} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$72 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$72 \frac{1}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$72 (\frac{1}{4}) - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $72$ .

$4 (18) \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 18 \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$18 - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 96$ .

$18 + 2 (- 48) \frac{1}{2} - 222$

Étape 9.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$18 + 2 \cdot - 48 \frac{1}{2} - 222$

Étape 9.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$18 - 48 - 222$

Étape 9.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Soustrayez $48$ de $18$ .

$- 30 - 222$

Étape 9.2.2

Soustrayez $222$ de $- 30$ .

$- 252$

Étape 10

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 6 {(\frac{1}{2})}^{4} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{8}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.9

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.9.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 (- 2) (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{1}{8})) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 (\frac{1}{4}) + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.13

Associez $- 111$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 + \frac{- 111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 (60) (\frac{1}{2}) + 27$

Étape 11.2.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{1}{2})) + 27$

Étape 11.2.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{111}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - (\frac{111}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 60 + 27$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{111}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 60 + 27$

Étape 11.2.2.6

Écrivez $60$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} + 27$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $\frac{60}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Étape 11.2.2.8

Multipliez $\frac{60}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + 27$

Étape 11.2.2.9

Écrivez $27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Étape 11.2.2.10

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 11.2.2.11

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{8} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 2 \cdot 8 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 111$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $60$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 11.2.4.4

Multipliez $27$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 216}{8}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Soustrayez $16$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 13 - 222 + 480 + 216}{8}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $222$ de $- 13$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 235 + 480 + 216}{8}$

Étape 11.2.5.3

Additionnez $- 235$ et $480$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{245 + 216}{8}$

Étape 11.2.5.4

Additionnez $245$ et $216$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{461}{8}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{461}{8}$ .

$y = \frac{461}{8}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{5}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$72 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$72 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$72 \frac{25}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$72 (\frac{25}{4}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $72$ .

$4 (18) \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 18 \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$18 \cdot 25 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.7

Multipliez $18$ par $25$ .

$450 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$450 - 96 (\frac{- 5}{2}) - 222$

Étape 13.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 96$ .

$450 + 2 (- 48) \frac{- 5}{2} - 222$

Étape 13.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$450 + 2 \cdot - 48 \frac{- 5}{2} - 222$

Étape 13.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$450 - 48 \cdot - 5 - 222$

Étape 13.1.9

Multipliez $- 48$ par $- 5$ .

$450 + 240 - 222$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Additionnez $450$ et $240$ .

$690 - 222$

Étape 13.2.2

Soustrayez $222$ de $690$ .

$468$

Étape 14

$x = - \frac{5}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{5}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{5}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{5}{2}) = 6 {(- \frac{5}{2})}^{4} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{2}) = 3 (\frac{625}{8}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.7

Associez $3$ et $\frac{625}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 625}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $3$ par $625$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.11

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.13

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 15.2.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{125}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.13.2

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 (- 2) (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{- 125}{8})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 2 \cdot - 125 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.14

Multipliez $- 2$ par $- 125$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.15.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.15.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.17

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.18

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{25}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (\frac{25}{4}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.20

Multipliez $- 111 (\frac{25}{4})$ .

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Étape 15.2.1.20.1

Associez $- 111$ et $\frac{25}{4}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 111 \cdot 25}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.20.2

Multipliez $- 111$ par $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.22

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.22.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (\frac{- 5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.22.2

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 (60) (\frac{- 5}{2}) + 27$

Étape 15.2.1.22.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{- 5}{2})) + 27$

Étape 15.2.1.22.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 60 \cdot - 5 + 27$

Étape 15.2.1.23

Multipliez $60$ par $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $250$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{250}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{250}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{2775}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - (\frac{2775}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 300 + 27$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{2775}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 300 + 27$

Étape 15.2.2.6

Écrivez $- 300$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} + 27$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $\frac{- 300}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{- 300}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + 27$

Étape 15.2.2.9

Écrivez $27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Étape 15.2.2.10

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 15.2.2.11

Multipliez $\frac{27}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{8} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 250 \cdot 8 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $250$ par $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 2775$ par $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $- 300$ par $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 27 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.4.4

Multipliez $27$ par $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $1875$ et $2000$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3875 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $5550$ de $3875$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 1675 - 2400 + 216}{8}$

Étape 15.2.5.3

Soustrayez $2400$ de $- 1675$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4075 + 216}{8}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $- 4075$ et $216$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3859}{8}$

Étape 15.2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{3859}{8}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{3859}{8}$ .

$y = - \frac{3859}{8}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$72 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 - 222$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$72 \cdot 16 - 96 \cdot 4 - 222$

Étape 17.1.2

Multipliez $72$ par $16$ .

$1152 - 96 \cdot 4 - 222$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$1152 - 384 - 222$

Étape 17.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $384$ de $1152$ .

$768 - 222$

Étape 17.2.2

Soustrayez $222$ de $768$ .

$546$

Étape 18

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 6 {(4)}^{4} - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (4) = 6 \cdot 256 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $6$ par $256$ .

$f (4) = 1536 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (4) = 1536 - 16 \cdot 64 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $64$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 \cdot 16 + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $- 111$ par $16$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 120 (4) + 27$

Étape 19.2.1.7

Multipliez $120$ par $4$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 480 + 27$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $1024$ de $1536$ .

$f (4) = 512 - 1776 + 480 + 27$

Étape 19.2.2.2

Soustrayez $1776$ de $512$ .

$f (4) = - 1264 + 480 + 27$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $- 1264$ et $480$ .

$f (4) = - 784 + 27$

Étape 19.2.2.4

Additionnez $- 784$ et $27$ .

$f (4) = - 757$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 757$ .

$y = - 757$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{461}{8})$ est un maximum local

$(- \frac{5}{2}, - \frac{3859}{8})$ est un minimum local

$(4, - 757)$ est un minimum local

Étape 21