Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.3

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.4

Pour écrire $\frac{x - 6}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x - 6}{x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.5.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.5.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 1.6.2

Associez $600$ et $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 1.6.3

Comme $600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x - 6) (x + 1) + 14$ et $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x - 6) (x + 1) + 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.4.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.8.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.8.4

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.9

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.10.10

Additionnez $2 x - 5$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.12

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.12.2

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.12.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.12.2.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4}$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.17

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.17.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.17.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.17.3

Associez $600$ et $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.1

Développez $(x + 1) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.1.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.2.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.4.3

Multipliez $600$ par $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.5

Développez $(x - 6) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.6.2

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.8.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.10.1

Multipliez $- 2$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.10.2

Multipliez $10$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.10.3

Multipliez $600$ par $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.11

Multipliez $600 (- 2 \cdot 14)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.1.11.1

Multipliez $- 2$ par $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.1.11.2

Multipliez $600$ par $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.2

Associez les termes opposés dans $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.3.2.1

Soustrayez $1200 x^{2}$ de $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.2.2

Additionnez $- 1800 x - 3000$ et $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.3

Additionnez $- 1800 x$ et $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.4

Additionnez $- 3000$ et $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.3.5

Soustrayez $16800$ de $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.4

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x - 12600$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.18.4.1

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x$ .

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.4.2

Factorisez $4200$ à partir de $- 12600$ .

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.18.4.3

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x + 4200 \cdot - 3$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $4200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $4200 \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4200 \frac{d}{d x} (\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.3.5.2

Multipliez ${(x + 1)}^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.5.2

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.5.2.2

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $- 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.5.2.3

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}})$

Étape 2.10.3

Associez $4200$ et $\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 (x - 3))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 \cdot 1 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1.1

Multipliez $4200$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $4200$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.3

Multipliez $4200 (- 3 \cdot - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 \cdot 9}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.1.3.2

Multipliez $4200$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.2

Soustrayez $12600 x$ de $4200 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 4200 + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.3.3

Additionnez $4200$ et $37800$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.4

Factorisez $8400$ à partir de $- 8400 x + 42000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.4.1

Factorisez $8400$ à partir de $- 8400 x$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.4.2

Factorisez $8400$ à partir de $42000$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 8400 (5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.4.3

Factorisez $8400$ à partir de $8400 (- x) + 8400 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.6

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.8

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- 1 (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.11.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8400 (x - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.3

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.4

Pour écrire $\frac{x - 6}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Multipliez $\frac{x - 6}{x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.5.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.5.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 4.1.6.2

Associez $600$ et $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 4.1.6.3

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Étape 4.1.7

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x - 6) (x + 1) + 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.10.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.4.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.10.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.8.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.8.4

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.9

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.10.10

Additionnez $2 x - 5$ et $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.12

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.12.2

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.12.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.12.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.12.2.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 4.1.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.13.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4}$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.17

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.17.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.17.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.17.3

Associez $600$ et $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.1

Développez $(x + 1) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.1.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.2.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.4.3

Multipliez $600$ par $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.5

Développez $(x - 6) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.6.2

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.8.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.10.1

Multipliez $- 2$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.10.2

Multipliez $10$ par $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.10.3

Multipliez $600$ par $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.11

Multipliez $600 (- 2 \cdot 14)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.1.11.1

Multipliez $- 2$ par $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.1.11.2

Multipliez $600$ par $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.2

Associez les termes opposés dans $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.3.2.1

Soustrayez $1200 x^{2}$ de $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.2.2

Additionnez $- 1800 x - 3000$ et $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.3

Additionnez $- 1800 x$ et $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.4

Additionnez $- 3000$ et $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.3.5

Soustrayez $16800$ de $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.4

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x - 12600$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.18.4.1

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x$ .

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.4.2

Factorisez $4200$ à partir de $- 12600$ .

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.1.18.4.3

Factorisez $4200$ à partir de $4200 x + 4200 \cdot - 3$ .

$f' (x) = \frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4200 (x - 3) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4200 (x - 3) = 0$ par $4200$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4200 (x - 3) = 0$ par $4200$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4200$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez $x - 3$ par $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{4200}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4200$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{8400 ((3) - 5)}{{((3) + 1)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Soustrayez $5$ de $3$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{{(3 + 1)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{4^{4}}$

Étape 9.2.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{256}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $8400$ par $- 2$ .

$- \frac{- 16800}{256}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $- 16800$ et $256$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Factorisez $32$ à partir de $- 16800$ .

$- \frac{32 (- 525)}{256}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $32$ à partir de $256$ .

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 525}{8}$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{525}{8}$

Étape 9.4

Multipliez $- - \frac{525}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{525}{8})$

Étape 9.4.2

Multipliez $\frac{525}{8}$ par $1$ .

$\frac{525}{8}$

Étape 10

$x = 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{(3) + 1} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{4^{2}})$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{16})$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun à $14$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 (7)}{16})$

Étape 11.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Étape 11.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Étape 11.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - (\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{8} + \frac{7}{8})$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = 600 (\frac{8 - 7 \cdot 2 + 7}{8})$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$f (3) = 600 (\frac{8 - 14 + 7}{8})$

Étape 11.2.4.2

Soustrayez $14$ de $8$ .

$f (3) = 600 (\frac{- 6 + 7}{8})$

Étape 11.2.4.3

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{8})$

Étape 11.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Factorisez $8$ à partir de $600$ .

$f (3) = 8 (75) (\frac{1}{8})$

Étape 11.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (3) = 8 \cdot (75 (\frac{1}{8}))$

Étape 11.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (3) = 75$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $75$ .

$y = 75$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$ .

$(3, 75)$ est un minimum local

Étape 13