Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 + 6 e^{- 0.1 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 6 e^{- 0.1 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [6 e^{- 0.1 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [6 e^{- 0.1 x}]$

Étape 1.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 e^{- 0.1 x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 e^{- 0.1 x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{- 0.1 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{- 0.1 x}]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [e^{- 0.1 x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.1 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.1 x$ .

$0 + 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.1 x])$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.1 x])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.1 x$ .

$0 + 6 (e^{- 0.1 x} \frac{d}{d x} [- 0.1 x])$

Étape 1.2.3

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.1 x$ par rapport à $x$ est $- 0.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 6 (e^{- 0.1 x} (- 0.1 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 6 (e^{- 0.1 x} (- 0.1 \cdot 1))$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 0.1$ par $1$ .

$0 + 6 (e^{- 0.1 x} \cdot - 0.1)$

Étape 1.2.6

Déplacez $- 0.1$ à gauche de $e^{- 0.1 x}$ .

$0 + 6 (- 0.1 \cdot e^{- 0.1 x})$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 0.1$ par $6$ .

$0 - 0.6 e^{- 0.1 x}$

Étape 1.3

Soustrayez $0.6 e^{- 0.1 x}$ de $0$ .

$- 0.6 e^{- 0.1 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 0.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.6 e^{- 0.1 x}$ par rapport à $x$ est $- 0.6 \frac{d}{d x} [e^{- 0.1 x}]$ .

$f'' (x) = - 0.6 \frac{d}{d x} e^{- 0.1 x}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.1 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.1 x$ .

$f'' (x) = - 0.6 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 0.1 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 0.6 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 0.1 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.1 x$ .

$f'' (x) = - 0.6 (e^{- 0.1 x} \frac{d}{d x} (- 0.1 x))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.1 x$ par rapport à $x$ est $- 0.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 0.6 e^{- 0.1 x} (- 0.1 \frac{d}{d x} x)$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 0.1$ par $- 0.6$ .

$f'' (x) = 0.06 e^{- 0.1 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0.06 e^{- 0.1 x} \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $0.06$ par $1$ .

$f'' (x) = 0.06 e^{- 0.1 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 0.6 e^{- 0.1 x} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6