Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{54}{x}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 54$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ et $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (128 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{54}{x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $128 x$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 128 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{54}{x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{54}{x^{2}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $128$ par $1$ .

$f'' (x) = 128 + \frac{d}{d x} (- \frac{54}{x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{54}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 128 - 54 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 128 - 54 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 128 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 128 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 54$ .

$f'' (x) = 128 + 108 x^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 128 + 108 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.4.2

Associez $108$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 128 + \frac{108}{x^{3}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 128$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 64 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$f' (x) = 128 x + \frac{d}{d x} (\frac{54}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{54}{x}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 128 x + 54 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 128 x + 54 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $54$ .

$f' (x) = 128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 4.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 4.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.2.1

Associez $- 54$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Étape 4.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Étape 4.1.5.2.3

Additionnez $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{54}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$128 x^{3} = 54$

Étape 5.4.2

Soustrayez $54$ des deux côtés de l’équation.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Étape 5.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $128 x^{3} - 54$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $128 x^{3}$ .

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Étape 5.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Étape 5.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ .

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 5.4.3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 x$ et $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 5.4.3.5

Factorisez.

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Étape 5.4.3.5.1

Simplifiez

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Étape 5.4.3.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 5.4.3.5.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 5.4.3.5.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Étape 5.4.3.5.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Étape 5.4.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Étape 5.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Étape 5.4.5

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.5.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 5.4.5.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 5.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 5.4.6

Définissez $16 x^{2} + 12 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.6.1

Définissez $16 x^{2} + 12 x + 9$ égal à $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Étape 5.4.6.2

Résolvez $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 12$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.6.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Étape 5.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 5.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 5.4.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.4.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 5.4.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Étape 5.4.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{54}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{108}{{(\frac{3}{4})}^{3}} + 128$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$\frac{108}{\frac{3^{3}}{4^{3}}} + 128$

Étape 9.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{108}{\frac{27}{4^{3}}} + 128$

Étape 9.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{108}{\frac{27}{64}} + 128$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$108 (\frac{64}{27}) + 128$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $27$ à partir de $108$ .

$27 (4) \frac{64}{27} + 128$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$27 \cdot 4 \frac{64}{27} + 128$

Étape 9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 64 + 128$

Étape 9.1.4

Multipliez $4$ par $64$ .

$256 + 128$

Étape 9.2

Additionnez $256$ et $128$ .

$384$

Étape 10

$x = \frac{3}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{4}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3}{4}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = 64 {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 64 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 64 (\frac{9}{4^{2}}) + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 64 (\frac{9}{16}) + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$f (\frac{3}{4}) = 16 (4) (\frac{9}{16}) + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{4}) = 16 \cdot (4 (\frac{9}{16})) + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = 4 \cdot 9 + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $4$ par $9$ .

$f (\frac{3}{4}) = 36 + \frac{54}{\frac{3}{4}} - 3$

Étape 11.2.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3}{4}) = 36 + 54 (\frac{4}{3}) - 3$

Étape 11.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$f (\frac{3}{4}) = 36 + 3 (18) (\frac{4}{3}) - 3$

Étape 11.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{4}) = 36 + 3 \cdot (18 (\frac{4}{3})) - 3$

Étape 11.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = 36 + 18 \cdot 4 - 3$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $18$ par $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 36 + 72 - 3$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Additionnez $36$ et $72$ .

$f (\frac{3}{4}) = 108 - 3$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $3$ de $108$ .

$f (\frac{3}{4}) = 105$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $105$ .

$y = 105$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ .

$(\frac{3}{4}, 105)$ est un minimum local

Étape 13